Среди многочисленных предметов среднеобразовательной школы есть такой, как «геометрия». Традиционно считается, что родоначальниками этой систематической науки являются греки. На сегодняшний день греческую геометрию называют элементарной, так как именно она начала изучение простейших форм: плоскостей, прямых, и треугольников. На последних мы и остановим свое внимание, а точнее на биссектрисе этой фигуры. Для тех, кто уже подзабыл, биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, который делит его пополам и соединяет вершину с точкой, размещенной на противолежащей стороне.
Биссектриса треугольника имеет ряд свойств, которые необходимо знать при решении тех или иных задач:
- Биссектриса угла представляет собой геометрическое место точек, удаленных на равных расстояниях от прилегающих к углу сторон.
- Биссектриса в треугольнике делит противоположную от угла сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Например, дан треугольник MKB, где из угла K выходит биссектриса, соединяющая вершину этого угла с точкой A на противолежащей стороне MB. Проанализировав данное свойство и наш треугольник, имеем MA/AB=MK/KB.
- Точка, в которой пересекаются биссектрисы всех трех углов треугольника, является центром окружности, которая вписана в этот же треугольник.
- Основание биссектрис одного внешнего и двух внутренних углов находятся на одной прямой, при условии, что биссектриса внешнего угла не является параллельной противоположной стороне треугольника.
- Если две биссектрисы одного то этот
Необходимо отметить, что если заданы три биссектрисы, то построение треугольника по ним, даже с помощью циркуля, невозможно.
Очень часто при решении задач биссектриса треугольника неизвестна, а необходимо определить ее длину. Для решения такой задачи необходимо знать угол, который делится биссектрисой пополам, и прилегающие к этому углу стороны. В этом случае искомая длина определяется как отношение удвоенного произведения прилегающих к углу сторон и косинуса угла деленного пополам к сумме прилегающих к углу сторон. Например, дан все тот же треугольник MKB. Биссектриса выходит из угла K и пересекает противоположную сторону МВ в точке А. Угол, из которого выходит биссектриса, обозначим y. Теперь запишем все то, что сказано словами в виде формулы: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Если величина угла, из которого выходит биссектриса треугольника, неизвестна, но известны все его стороны, то для вычисления длины биссектрисы мы воспользуемся дополнительной переменной, которую назовем полупериметр и обозначим буквой P: P=1/2*(MK+KB+MB). После этого внесем некоторые изменения в предыдущую формулу, по которой определялась длина биссектрисы, а именно, в числитель дроби ставим удвоенный из произведения длин сторон, прилегающих к углу, на полупериметр и частное, где из полупериметра вычитается длина третьей стороны. Знаменатель оставим без изменения. В виде формулы это будет выглядеть так: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Биссектриса равнобедренного треугольника вместе с общими свойствами имеет и несколько своих. Вспомним, что это за треугольник. У такого треугольника две стороны равны, и равны прилегающие к основанию углы. Отсюда следует, что биссектрисы, которые опускаются на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Кроме того, биссектриса, опущенная на основание, одновременно является и высотой, и медианой.
Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.
Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.
Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т.к. углы треугольника также равны.
При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.
Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.
Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.
Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.
Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB - AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB - (BC /4)).
В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).
Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?
В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.
По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.
Р = (АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).
По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т.к. эти две стороны треугольника равны между собой.
Биссектриса прямоугольного треугольника
Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т.е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в условии не будет указан синус или косинус угла, можно их узнать по величине угла.
- Находится биссектриса по формуле Стюарта. Если имеется треугольник АВК, и его полупериметр высчитывается, как Р = (АВ+ ВК+ АК)/2. Исходя из полученного, высчитываем биссектрису АЕ = v(4*ВК*АК*Р (Р-АВ)/ (ВК+АК).
- Длина биссектрисы определяется еще таким образом. АЕ = v (ВК*АК) – (ЕВ*ЕК), где ЕВ и ЕК – отрезки, на которые биссектриса АЕ делит сторону ВК.
- Либо можно воспользоваться косинусами углов прямоугольного треугольника, если они известны. Биссектриса будет равна (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
- Либо находить биссектрису так. По формуле (cos а) – (cos b)/2, найдите необходимый в дальнейшем делитель. Далее высота, проведенная к стороне с, делится на полученное значение. Для получения косинусов нужно знать величину углов. Либо вычислить их, исходя из величины единственно известного угла – прямого, в 90 градусов.
Равносторонний треугольник
В таком треугольнике все стороны равны между собой, соответственно и углы. Поэтому все биссектрисы и медианы также будут равными. Если некоторые значения сторон будут неизвестными, то нужным будет значение одной стороны. Т.к. стороны равны. И величины углов также. Поэтому для нахождения биссектрисы по формуле косинусов, нужно знать либо вычислить значение лишь одного из углов.
Длина медианы и биссектриса треугольника равна - L.
Стороны треугольника равны - а.
В треугольнике АВС, биссектриса АЕ = (АВСv3)/2.
По этой же формуле вычисляются высота и медиана равностороннего треугольника.
Разносторонний треугольник
В таком треугольнике все стороны имеют разные значения, поэтому и биссектрисы не равны между собой.
Берется треугольник с произвольными значениями сторон. Если некоторые значения сторон неизвестны, то они вычисляются по формуле периметра треугольника.
После того, как биссектрисы углов будут проведены, стоит прибавить к их обозначениям нижний индекс1. Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, обозначаются также с нижним индексом 1.
Длины этих отрезков вычисляются по теореме синусов.
Длина же биссектрисы вычисляется как L = v аb – а1b1, где аb – прилежащие к отрезкам стороны, а а1b1 – произведение отрезков. Формула применяется ко всем сторонам разностороннего треугольника. Главное, это знать длины сторон, либо вычислить их, зная величины прилегающих к ним углов.
Вам понадобится
- - прямоугольный треугольник;
- - известная длина катетов;
- - известная длина гипотенузы;
- - известные углы и одна из сторон;
- - известные длины частей, на которые биссектриса делит гипотенузу.
Инструкция
Воспользуйтесь следующей теоремой: отношения катетов и отношения прилежащих отрезков, на которые прямого угла делит гипотенузу, равны. То есть разделите катетов друг на друга и приравняйте к отношению х/(с-х). При этом следите за тем, чтобы в числителе стоял прилежащий к х катет. Решите полученное уравнение и найдите х.
Узнав длину отрезков, на которые биссектриса прямого угла разделила гипотенузу, найдите длину самой гипотенузы при помощи теоремы синусов. Угол между катетом и биссектрисой вам известен - 45⁰, две стороны внутреннего треугольника тоже.
Подставьте данные в теорему синусов: х/sin45⁰=l/sinα. Упростив выражение, вы получите l=2xsinα/√2. Подставьте найденное х: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). Это и есть биссектриса прямого угла , выраженная через гипотенузу.
Если вам даны катеты, у вас есть два варианта: либо найдите длину гипотенузы по теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы и решайте указанным выше способом. Либо воспользуйтесь следующей готовой формулой: l=√2*ab/(a+b), где a и b – длины катетов.
Источники:
- как найти длину прямой
Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.
Вам понадобится
- Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе
Инструкция
Постройте треугольник необходимой и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.
Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими А, В и С. Вершины углов обозначают , противолежащие стороны - строчными. Обозначьте углы греческими буквами?,? и?
По теоремам синусов и косинусов вычислите углов и сторон треугольника .
Вспомните биссектрисы. Биссектриса - , делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую на два отрезка, которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника .
Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.
Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.
Полезный совет
Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.
Совет 3: Как найти биссектрису в прямоугольном треугольнике
Биссектрисой называется луч, который делит угол пополам. Биссектриса, помимо этого, имеет ещё множество свойств и функций. А для того, чтобы вычислить ее длину в прямоугольном треугольнике , вам понадобятся формулы и инструкции приведенные ниже.
Вам понадобится
- - калькулятор
Инструкция
Перемножьте между собой сторону a, сторону b, полупериметр треугольника p и цифру четыре 4*a*b. Далее полученную сумму необходимо умножить на разность полупериметра p и стороны c 4*a*b*(p-c). Извлеките корень из полученного ранее. SQR(4*a*b*(p-c)). А разделите результат на сумму стороны a и b. Таким образом, мы получили одну из формул нахождения биссектрисы с помощью теоремы Стюарта. Её же можно трактовать иным способом, представив таким образом: SQR(a*b*(a+b+c)(a+b-c)). За этой формулы существует ещё несколько вариантов, полученных на основании все той же теоремы.
Перемножьте сторону a на сторону b. Из результата отнимите длин отрезков e и d, на которые биссектриса l делит сторону c. Получаются вот такого вида a*b-e*d. Далее необходимо извлечь корень из представленной разности SQR (a*b-e*d). Это ещё один способ длины биссектрисы в треугольниках. Делайте все вычисления аккуратно, повторяя хотя бы 2 раза для возможных ошибок.
Умножьте два на стороны a и b, а также косинус угла с, деленный пополам. Далее полученное произведение нужно разделить на сумму стороны a и b. При условии, в котором известны косинусы, этот способ вычисления станет для вас наиболее удобным.
Отнимите из косинуса угла a косинус угла b. После полученную разность разделите пополам. Делитель, который понадобится нам в дальнейшем, вычислен. Теперь осталось лишь поделить высоту, проведенную к стороне c, на вычисленное ранее число. Сейчас был продемонстрирован ещё один способ вычислений для нахождения биссектрисы в прямоугольном треугольнике . Выбор метод для поиска нужных вам цифр остается за вами, а также зависит от , которые предоставлены в условии о той или иной геометрической фигуре.
Видео по теме
Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные своими уравнениями. Требуется найти уравнение прямой, которая, проходя через точку пересечения этих двух прямых, делила бы точно пополам угол между ними, то есть являлась бы биссектрисой.
ТЕМА:
Свойства элементов прямоугольного треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника.
учитель математики муниципального общеобразовательного учреждения
средней общеобразовательной школы №13
КОСТРОМА 2009
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
При составлении данных дидактических материалов, были поставлены следующие цели:
Помочь учителю организовать учебный процесс при изучении тем « Свойство биссектрисы угла треугольника» и «Свойство высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу»,
Дополнить учебник по геометрии по данным темам задачами для самостоятельной работы учащихся;
Выделение задач для подготовки к ЕГЭ по математике.
Данные дидактические материалы помогают закрепить навыки решения заданий по применению свойств, вытекающих из подобия прямоугольных треугольников. Подборку задач можно использовать для текущего и итогового контроля, для проведения самостоятельной работы, для индивидуального задания на дом, как в 9 классе, так и в 10-11 классах при повторении материала и подготовке к ЕГЭ. В материалах представлено 22 задачи, к половине из них прилагаются решения. Задачи, решения которых аналогичны рассмотренным, предлагаются или для самостоятельного решения в классе, или в качестве домашней работы. Задачи расположены по степени повышения трудности.
Почему у меня, как у учителя возникла потребность в подборке задач именно по этой теме? Ответов здесь несколько. Во-первых, в учебнике по которому я работаю, задач по этой теме практически нет (только две задачи: №40 п.106 и ещё несколько задач в дидактических материалах), но они однотипны и в целом не отражают различных ситуаций на применение свойств. Задач на применение свойств биссектрисы угла треугольника вообще нет.
Во- вторых отражение этой темы не раз имело место быть в материалах ЕГЭ, и поэтому я считаю необходимым эту тему более подробно обозначить и для учащихся. В экзамене по математике увеличилось количество задач по геометрии
Литература:
«Экзаменационные вопросы и ответы на 5»
«Справочник для поступающих в вузы» г
Зеленский И. И. «Геометрия в задачах». Серия математика: «Перезагрузка»
«Сборник задач по геометрии»
Зив А. Г. «Задачи по геометрии»
Гусев А. И. «Дидактические материалы по геометрии»
Заголовок
Свойство № 1
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу
Свойство № 2
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу
Свойство № 3
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам
УровеньА
А1 Периметр треугольника равен 25 см, а его биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, равные 7,5 см и 2,5 см. Найдите стороны треугольника.
А2 Периметр треугольника равен 35 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону.
А3 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 дм, а его проекция на гипотенузу – 8 дм. Найдите второй катет и гипотенузу.
А4 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их проекции на гипотенузу равны 36 см 64 см.
А5 Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если её основание делит гипотенузу на отрезки 4 см и 9 см.
А6 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе равна 4. Найдите гипотенузу, если один из катетов равен 8.
УровеньВ
В1 В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 36 см и делит её на отрезки в отношении 9:16. Найти РАВС
https://pandia.ru/text/78/060/images/image003_197.gif" width="71" height="23">; СК2= АК ∙ КВ;
362 = 9х∙16х; 1296 = 144х2 ; х2 = 9; х = 3
АК=27см; ВК=48см; АВ=75см.
2) Из ∆ АКС по теореме Пифагора: АС= https://pandia.ru/text/78/060/images/image006_144.gif" width="49" height="24 src=">=45 (см)
Из ∆ АВС по теореме Пифагора: ВС===60 (см)
3) Р АВС = АС+АВ+ВС; РАВС= 180см.
Ответ 180см
В2 В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки в отношении 16:9. Больший катет треугольника равен 60см. найти длину этой высоты. (эта задача аналогична предыдущей и поэтому её решение не рассмотрено)
Ответ: 36см
В3 Из точки окружности к диаметру проведен перпендикуляр, который делит диаметр на отрезки, длины которых относятся как 9:4. Найти длину окружности, если длина перпендикуляра равна 24см.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_107.gif" width="12" height="19">АО = 26 см
3) Для нахождения длины окружности применим формулу: L = 2https://pandia.ru/text/78/060/images/image011_97.gif" width="15" height="15 src="> см
Ответ: 52https://pandia.ru/text/78/060/images/image012_89.gif" width="208" height="172 src=">Решение
1) Применим свойство высоты, проведенной
из вершины прямого угла ∆АВС на гипотенузу АС: ВК= https://pandia.ru/text/78/060/images/image014_72.gif" width="83" height="27">см,АК=4см, КС=16см.
2)Из ∆АКВ по теореме Пифагора:
3)Из ∆ВКС по теореме Пифагора:
4) SАВСД =АВ ∙ ; S АВСД = 160 см2
Ответ:160см2
В6 Из вершин противолежащих углов прямоугольника к диагонали проведены перпендикуляры, расстояние между основаниями которых 16см. Найти площадь прямоугольника, если длины этих перпендикуляров по 6см. (Задача похожа на предыдущую, поэтому её решение не представлено)
Ответ:120см2
Задачи В7, В8, В9 можно предложить учащимся или в качестве домашней работы или вынести на самостоятельное решение в классе
В7 Площадь прямоугольного треугольника равна 150, один из катетов равен 15. Найти длину высоты, опущенной из вершины прямого угла
В8 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна Найти гипотенузу, если один из катетов 8.
В9 Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна b, а один из острых углов 60○. Найти гипотенузу.
В10 Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет 12см и15см. Найти площадь треугольника на отрезки.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image022_49.gif" width="148" height="41">
Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда
5х – сторона АВ, 4х – сторона АС
2) Для ∆АСВ применим теорему Пифагора
АВ2 = АС2 + ВС2 ;
25х2 = 16х2 +729;
3) Применим формулу для площади треугольника: S∆ = АС∙ВС; АС = 36(см); ВС = 27(см)
S∆АСВ =486 см2
Ответ: 486 см2
В11, В12 подобны предыдущей задаче.
В11 Биссектриса прямого угла треугольника делит его гипотенузу на отрезки 15см и20см. Найти площадь треугольника.
Ответ: 294см2
В12 В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 8см и10 см. Найти периметр этого треугольника.
Ответ: 72см
В13 Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 20см и 15см. Найти радиус вписанной окружности.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image025_41.gif" width="148" height="41">
2) Пусть х- коэффициент пропорциональности, тогда АС -4х, СВ-3х
Для ∆АСВ применим теорему Пифагора:
АВ2 = АС2+СВ2
х=7 АС= 28см, СВ=21см
3)Для нахождения радиуса вписанной окружности применим формулу: r═ ; r=см
Ответ: 7см
В14 Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 10см и 26см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
АВ - 13х, АС – 5х
3) Применим для ∆ АСВ теорему Пифагора:
АВ2= АС2 + ВС2
169х2= 1396+25х2https://pandia.ru/text/78/060/images/image030_35.gif">4) Т. к. центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузыR= R=19,5см
Ответ:19,5см
В15, В16, В17 можно задать на дом, с последующей проверкой в классе.
Задача№15 Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки в отношении 4:3. Найти эти отрезки, если радиус вписанной окружности равен 7.
Ответ: 32см и 24см
В16 Биссектриса, проведенная из вершины прямоугольника, делит его диагональ на отрезки 65 см и 156 см. Найти площадь прямоугольника.
Ответ 17340см2
В17Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника равна 39https://pandia.ru/text/78/060/images/image023_47.gif" width="16" height="41">DВ∙DК; ВD - ? DК - ?
2) Найдем S∆АВС по формуле Герона: p = 21, S∆АВС = 84.
3) С другой стороны S ∆АВС = АС∙DВ АС∙DВ = 2S; DВ = ; DВ = 12;
4) Примем АК = х, тогда СК = 14 – х; Применим свойство биссектрисы угла треугольника: =https://pandia.ru/text/78/060/images/image036_29.gif" width="21" height="41 src=">.gif" width="20" height="16 src="> х = 6,5: АК = 6,5
5) DК = АК – АD..gif" width="16" height="41 src=">∙12∙1,5 = 9.
В разделе на вопрос Что известно о биссектрисах в прямоугольных треугольниках? Нужно для решения задачи. Ответьте, пожалуйста.. заданный автором Mopy Teruho
лучший ответ это Биссектриса угла - это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. В прямоугольном треугльнике биссектриса никакими особыми свойтсвами не обладает. Все свойства биссектрис перечислены ниже (чертежи см. ссылку)
Свойства биссектрис треугольника
1. Биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: x/y=a/b.
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
5. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.
6. Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка - центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
7. Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
8. Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
