Деление - это арифметическое действие обратное умножению, посредством которого узнаётся, сколько раз одно число содержится в другом.
Число, которое делят, называют делимым , число, на которое делят, называют делителем , результат деления называют частным .
Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторяемое сложение, деление заменяет неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 10 разделить на 2 - значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 10:
10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0
Повторяя операцию вычитания 2 из 10, мы находим, что 2 содержится в числе 10 пять раз. Это легко проверить сложив пять раз 2 или умножив 2 на 5:
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 · 5
Для записи деления используется знак: (двоеточие), ÷ (обелюс) или / (косая черта). Он ставится между делимым и делителем, при этом делимое записывается слева от знака деления, а делитель - справа. Например, запись 10: 5 означает, что число 10 делится на число 5. Справа от записи деления ставят знак = (равно), после которого записывают результат деления. Таким образом, полная запись деления выглядит так:
Эта запись читается так: частное десяти и пяти равняется двум или десять разделить на пять равно два.
Также деление можно рассматривать как действие, посредством которого одно число делится на столько равных частей, сколько единиц содержится в другом числе (на которое делится). Таким образом определяется сколько единиц содержится в каждой отдельной части.
Например, у нас есть 10 яблок, разделив 10 на 2 мы получим две равные части, каждая из которых содержит 5 яблок:
Проверка деления
Для проверки деления можно частное умножить на делитель (или наоборот). Если в результате умножения получится число, равное делимому, то деление выполнено верно.
Рассмотрим выражение:
где 12 - это делимое, 4 - это делитель, а 3 - частное. Теперь выполним проверку деления, умножив частное на делитель:
или делитель на частное:
Деление также можно проверить делением, для этого надо делимое разделить на частное. Если в результате деления получится число, равное делителю, то деление выполнено правильно:
Основное свойство частного
У частного есть одно важное свойство:
Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Например,
32: 4 = 8, (32 · 3) : (4 · 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8
Деление числа самого на себя и единицу
Для любого натурального числа a верны равенства:
a
: 1 = a
a
: a
= 1
Число 0 в делении
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль:
0: a = 0
Делить на нуль нельзя.
Рассмотрим, почему нельзя делить на нуль. Если делимое не нуль, а любое другое число, например 4, то разделить его на нуль значило бы найти такое число, которое после умножения на нуль даёт в результате число 4. Но такого числа нет, потому что любое число после умножения на нуль даёт снова нуль.
Если же делимое тоже равно нулю, то деление возможно, но частным может служить любое число, потому что в этом случае любое число после умножения на делитель (0) даёт нам делимое (т. е. снова 0). Таким образом, деление хоть и возможно, но не приводит к единственному определённому результату.
Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?
Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.
Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.
Рассмотрим подробно пример 12:6=2:
Число 12 называется делимым
. Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем
. Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным
. Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a
– делимое,
b
– делитель,
c
– частное.
Так что же такое деление?
Деление – это действие, обратное одного множителя мы можем найти другой множитель.
Деление проверяется умножением, то есть:
a
:
b
=
c
, проверка с⋅
b
=
a
18:9=2, проверка 2⋅9=18
Неизвестный множитель.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?
Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.
x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.
Ответ: 10 упаковок шаров.
Неизвестное делимое.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?
Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.
Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18
Ответ: 18 карандашей.
Неизвестный делитель.
Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?
Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3
Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.
Свойства деления натурального числа на единицу.
Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.
7:1=7
a
:1=
a
Свойства деления натурального числа на нуль.
Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.
Свойства деления нуля на натуральное число.
0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0:
a
=0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.
Свойство деления одинаковых чисел.
3:3=1
a
:
a
=1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.
Вопросы по теме “Деление”:
В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.
Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.
Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.
Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41
Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9
а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48
б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6
Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3
Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .
Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.
Правила записи при делении столбиком.
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой - так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .
Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.
Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.
Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :
512:8=?
Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:
Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.
1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).
После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.
3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:
Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).
Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .
4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.
Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).
В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.
Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.
5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.
Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:
В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).
Деление столбиком многозначных натуральных чисел.
Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.
Например , 1976 разделим на 26.
- Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов - 19.
- Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов - 197.
- Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
- Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
- 156 делим на 26, получаем 6.
Значит, 1976: 26 = 76.
Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.
Деление с десятичной дробью в частном.
Десятичные дроби онлайн. Перевод десятичных дробей в обычные и обычных дробей в десятичные.
Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.
Например , 64 разделим на 5.
- 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
- Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
- 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
- 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
- 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.
Значит, 64: 5 = 12,8
Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.
В этой статье мы рассмотрим правила и алгоритмы деления натуральных чисел. Сразу отметим, что здесь мы смотрим только на деление нацело, то есть без остатка. О делении натуральных чисел с остатком читайте в нашем отдельном материале.
Перед тем, как формулировать правило деления натуральных чисел, нужно понять связь деления с умножением. После того, как мы установим эту связь, последовательно рассмотрим самые простые случаи: деление натурального числа на себя и на единицу. Далее разберем деление с помощью таблицы умножения, деление методом последовательного вычитания, деление на числа, кратные числу 10 , различные степени числа 10 .
Для каждого случая приведем и подробно рассмотрим примеры. В конце статьи покажем, как проводить проверку результата деления.
Связь деления с умножением
Чтобы проследить связь между делением и умножением, вспомним, что деление представляется, как разбиение исходного делимого множества на несколько одинаковых множеств. Умножение связано с объединением нескольких одинаковых множеств в одно.
Деление - действие, обратное умножению. Что это значит? Приведем аналогию. Представим, что у нас есть b множеств, в каждом из которых - по с предметов. Общее количество предметов во всех множествах равно a . Умножение - это объединение всех множеств в одно. Математически оно запишется так:
Обратный процесс разбиения полученного общего множества на b множеств по с предметов в каждом соответствует делению:
На основе сказанного можно перейти к следующему утверждению:
Если произведение натуральных чисел c и b равно a , то частное чисел a и b равно c . Перепишем в буквенном виде.
Если b · c = a , то a ÷ b = c
Пользуясь переместительным свойством умножения, можно записать:
Отсюда также следует, что a ÷ с = b .
На основании сказанного можно сформулировать общий вывод. Если произведение чисел c и b равно a , то соответственно частные a ÷ b и a ÷ c равны c и b .
Подытожим все изложенное выше и дадим определение деления натуральных чисел.
Деление натуральных чисел
Деление - нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому известному множителю.
Это определение станет базой, на основе которой мы будем строить правила и методы деления натуральных чисел.
Деление методом последовательного вычитания
Только что мы говорили о делении в контексте умножения. На основе этого знания можно проводить операцию деления. Однако, существует еще один, достаточно простой и достойный внимания подход - деление методом последовательного вычитания. Этот способ понятен интуитивно, поэтому рассмотрим его на примере, не приводя теоретических выкладок.
Заголовок
Сколько будет 12 разделить на 4 ?
Иными словами данную задачу можно сформулировать так: имеется 12 предметов (например, апельсинов), и их нужно разделить на равные группы по 4 предмета (разложить в коробки по 4 штуки). Сколько будет таких групп или коробок по четыре апельсина в каждой?
Шаг за шагом будем отнимать от исходного количества по 4 апельсина и формировать группы по 4 до того момента, пока апельсины не закончатся. Количество шагов, которые нам придется сделать, и будет ответом на изначальный вопрос.
Из 12 апельсинов откладываем первую четверку в коробку. После этого в исходной куче апельсинов остается 12 - 4 = 8 цитрусовых. Из этих восьми в другую коробку забираем еще 4 . Теперь в исходной куче апельсинов осталось 8 - 4 = 4 штуки. Из этих четырех штук как раз можно сформировать еще одну, отдельную третью коробку, после чего в исходной куче останется 4 - 4 = 0 апельсинов.
Итак, мы получили 3 коробки, по 4 предмета в каждой. Иными словами, мы разделили 12 на 4 , и получили в результате 3 .
Работая с числами, не нужно каждый раз проводить аналогию с предметами. Что мы делали с делимым и делителем? Последовательно вычитали делитель из делимого, пока не получили нуль в остатке.
Важно!
При делении методом последовательного вычитания количество операций вычитания до получения нулевого остатка и есть частное от деления.
Для закрепления рассмотрим еще один, более сложный пример.
Пример 1. Деление последовательным вычитанием
Вычислим результат деления числа 108 на 27 методом последовательного вычитания.
Первое действие: 108 - 27 = 81 .
Второе действие: 81 - 27 = 54 .
Третье действие: 54 - 27 = 27 .
Четвертое действие: 27 - 27 = 0 .
Более действий не требуется. Мы получили ответ:
Отметим, что данный метод удобен только в случаях, когда необходимое количество последовательных вычитаний невелико. В остальных случаях целесообразно применять правила деления, которые мы рассмотрим ниже.
Деление равных натуральных чисел
Согласно свойствам натуральных чисел, сформулируем правило, как делить равные натуральные числа.
Деление равных натуральных чисел
Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице!
Например:
1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 141 = 1 ; 2589 ÷ 2589 = 1 ; 100000000 ÷ 100000000 = 1 .
Деление на единицу
Основываясь на свойствах натуральных чисел, можно также сформулировать правило деление натурального числа на единицу.
Деление натурального числа на единицу
Частное от деления любого натурального числа на единицу равно самому делимому числу.
Например:
1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 1 = 141 ; 2589 ÷ 1 = 2589 ; 100000000 ÷ 1 = 100000000 .
Таблица умножения - удобный инструмент, который позволяет найти произведения однозначных натуральных чисел. Однако, ее можно использовать и для деления.
Таблица умножения позволяет находить не только результат произведения множителей, но и множитель по известному произведению и другому множителю. Как мы выяснили ранее, деление - это как раз и есть нахождение неизвестного множителя по известному произведению и еще одному множителю.
С помощью таблицы умножения можно проводить деление любого числа на желтом фоне на любое однозначное натуральное число. Покажем, как это делать. Есть два способа, применение которых мы будем рассматривать на примерах.
Разделим 48 на 6 .
Способ первый.
В столбце, верхняя ячейка которого содержит делитель 6 , находим делимое 48 . Результат деления при этом находится в крайней левой ячейке строки, содержащей делимое. Он обведен синей окружностью.
Способ второй.
Сначала в строке с делителем 6 находим делимое 48 . Результат деления при этом находится в крайней верхней ячейке столбца, содержащем делимое. Он обведен синей окружностью.
Итак, мы разделили 48 на 6 и получили 8 . Результат был найден по таблице умножения двумя способами. Оба способа абсолютно идентичны.
Для закрепления рассмотрим еще один пример. Разделим 7 на 1 . Приведем рисунки, иллюстрирующие процесс деления.
В результате деления числа 7 на 1, как вы уже догадались, получается число 7 . В делении с помощью таблицы умножения очень важно знать эту таблицу наизусть, так как не всегда можно иметь ее под рукой.
Деление на 10, 100, 1000 и т.д.
Сразу сформулируем правило деления на натуральных чисел на 10 , 100 , 1000 и т.д. Сразу будем считать, что деление без остатка возможно.
Деление на 10, 100, 1000 и т.д.
Результатом деления натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т.д. является такое натуральное число, запись которого получается из записи делимого если справа от него отбросить 1 , 2 , 3 и т.д. нулей.
Отбрасывается столько нулей, сколько из есть в записи делителя!
Например, 30 ÷ 10 = 3 . От числа 30 мы отбросили один нуль.
Частное 120000 ÷ 1000 равно 120 - от числа 120000 отбрасываем справа три нуля, именно столько их содержится в делителе.
Обоснование правила строится на правиле умножения натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т.д. Приведем пример. Пусть нужно разделить 10200 на 100 .
10200 = 102 · 100
10200 ÷ 100 = 102 · 100 100 = 102 .
Представление делимого в виде произведения
При делении натуральных чисел не стоит забывать о свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число. Иногда делимое можно представить в виде произведения, один из множителей в котором делится на делитель.
Рассмотрим типичные случаи.
Пример 2. Представление делимого в виде произведения
Разделим 30 на 3 .
Делимое 30 можно представить в виде произведения 30 = 3 · 10 .
Имеем: 30 ÷ 3 = 3 · 10 ÷ 3
Воспользовавшись свойством деления произведения двух чисел, получаем:
3 · 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 · 10 = 1 · 10 = 10
Приведем еще несколько аналогичных примеров.
Пример 3. Представление делимого в виде произведения
Вычислим частное 7200 ÷ 72 .
Представляем делимое в виде 7200 = 72 · 100 . При этом, результат деления будет следующим:
7200 ÷ 72 = 72 · 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100
Пример 4. Представление делимого в виде произведения
Вычислим частное: 1600000 ÷ 160 .
1600000 = 160 · 10000
1600000 ÷ 160 = 160 · 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 · 10000 = 10000
В более сложных примерах удобно пользоваться таблицей умножения. Проиллюстрируем это.
Пример 5. Представление делимого в виде произведения
Разделим 5400 на 9 .
Таблица умножения подсказывает нам, что 54 делится на 9 , поэтому делимое целесообразно представить в виде произведения:
5400 = 54 · 100 .
Теперь закончим деление:
5400 ÷ 9 = 54 · 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 · 100 = 6 · 100 = 600
Для закрепления данного материала рассмотрим еще один пример, уже без подробных словесных пояснений.
Пример 6. Представление делимого в виде произведения
Посчитаем, сколько будет 120 разделить на 4 .
120 ÷ 4 = 12 · 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 · 10 = 3 · 10 = 30
Деление натуральных чисел, оканчивающихся на нуль
При делении чисел, записи которых оканчиваются цифрой 0 , полезно помнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. При этом, делитель представляется в виде произведения двух множителей, после чего указанное свойство находит применение в совокупности с таблицей умножения.
Как всегда, поясним это на примерах.
Пример 7. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0
Разделим 490 на 70 .
Запишем 70 в виде:
Используя свойство деления натурального числа на произведение, можно записать:
490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 · 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7 .
Деление на 10 мы уже разобрали в предыдущем пункте.
490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7
Для закрепления разберем еще один, более сложный пример.
Пример 8. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0
Возьмем числа 54000 и 5400 и разделим их.
54000 ÷ 5400 = ?
Представим 5400 в виде 54 · 100 и запишем:
54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 · 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54 .
Теперь делимое 540 представляем в виде 54 · 10 и записываем:
540 ÷ 54 = 54 · 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 · 10 = 10
54000 ÷ 5400 = 10 .
Подведем итог по изложенному в данном пункте.
Важно!
Если в записях делимого и делителя справа присутствуют нули, то нужно избавиться от одинакового количества нулей как в делимом, так и в делителе. После этого выполнить деление получившихся чисел.
Например, деление чисел 64000 и 8000 сведется к делению чисел 64 и 8 .
Метод подбора частного
Прежде чем рассматривать этот способ деления, введем некоторые условия.
Пусть числа a и b делятся друг на друга, причем произведение b · 10 дает число, большее, чем a . В таком случае частное a ÷ b является однозначным натуральным числом. Иными словами, это число от 1 до 9 . Это типичная ситуация, когда метод подбора частного удобен и применим. Последовательно умножая делитель на 1 , 2 , 3 , . . , 9 и сравнивая результат с делимым, можно найти частное.
Рассмотрим пример.
Пример 9. Подбор частного
Разделим 108 на 27 .
Легко заметить, что 27 · 10 = 270 ; 270 > 108 .
Начнем подбор частного.
27 · 1 = 27 27 · 2 = 54 27 · 3 = 81 27 · 4 = 108
Бинго! Частное найдено методом подбора:
Отметим, что в случаях, когда b · 10 > a частное также удобно находить методом последовательного вычитания.
Представление делимого в виде суммы
Еще один способ, который может помочь найти частное - это представить делимое в виде суммы нескольких натуральных чисел, каждое из которых легко делится на делитель. После этого нам пригодится свойство деления суммы натуральных чисел на число. Вместе с примером рассмотрим алгоритм и ответим на вопрос: в виде каких слагаемых представлять делимое?
Пусть делимое равно 8551 , а делитель равен 17 .
- Вычислим, на сколько в записи делимого больше знаков, чем в записи делителя. В нашем случае делитель содержит два знака, а делимое - четыре. Значит в записи делимого на два знака больше. Запоминаем число 2 .
- Справа в делителе дописываем два нуля. Почему два? В предыдущем пункте мы как раз и определили это число. Однако, если записанное в результате число окажется больше делителя, из числа, полученного в предыдущем пункте, нужно вычесть 1 . В нашем примере, дописав нули к делителю, мы получили число 1700 < 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
- К числу 1 справа приписываем нули в количестве, определенном числом из предыдущего пункта. Тем самым мы получаем рабочую единицу разряда, с которым будем оперировать далее. В нашем случае, к единице приписываются два нуля. Рабочий разряд - сотни.
- Проводим последовательное умножения делителя на 1 , 2 , 3 и т.д. единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее, чем делимое. 17 · 100 = 1700 ; 17 · 200 = 3400 ; 17 · 300 = 5100 ; 17 · 400 = 6400 ; 17 · 500 = 8500 ; 17 · 600 = 10200 Нас интересует предпоследний результат, так как следующий после него результат произведения больше делимого. Число 8500 , которое получено на предпоследнем шаге при умножении, и является первым слагаемым. Запоминаем равенство, которое мы будем использовать далее: 8500 = 17 · 500 .
- Вычисляем разность между делимым и найденным слагаемым. Если она не равна нулю, возвращаемся к первому пункту и начинаем поиск второго слагаемого, используя вместо делимого уже полученную разность. Повторяем пункты до тех пор, пока в результате не получим нуль. В нашем примере разность равна 8551 - 8500 = 51 . 51 ≠ 0 , поэтому, переходим к пункту 1 .
Повторяем алгоритм:
- Сравниваем количество знаков в новом делимом 51 и делителе 17 . В обоих записях по две цифры, разность количества знаков равно нулю. Запоминаем число 0 .
- Так как мы запомнили число 0 , в записи делителя не нужно дописывать дополнительных нулей.
- К единице также не будем добавлять нулей. Опять же, потому что в первом пункте мы запоминали число 0 . Таким образом, нашим рабочим разрядом являются единицы
- Последовательно умножаем 17 на 1 , 2 , 3 , . . и т.д. Получаем: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34 ; 17 · 3 = 51 .
- Очевидно, на третьем шаге мы получили число, равное делителю. Это и есть второе слагаемое. Так как 51 - 51 = 0 , на этом этапе останавливаем поиск слагаемых - он завершен.
Теперь осталось найти частное. Делимое 8551 мы представили в виде суммы 8500 + 51 . Запишем:
8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 .
Результаты делений в скобках известны нам из проведенных ранее действий.
8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503 .
Результат деления: 8551 ÷ 17 = 503 .
Рассмотрим еще несколько примеров, уже не комментируя каждое действие столь детально.
Пример 10. Деление натуральных чисел
Найдем частное: 64 ÷ 2 .
1. В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя. Запоминаем цифру 1 .
2. Справа у делителя приписываем один нуль.
3. К числу 1 приписываем один нуль и получаем единицу рабочего разряда - 10 . Рабочий разряд, таким образом - десятки.
4. Начинаем последовательное умножение делителя на единицы рабочего разряда. 2 · 10 = 20 ; 2 · 20 = 40 ; 2 · 30 = 60 ; 2 · 40 = 80 ; 80 > 64 .
Первое найденное слагаемое - число 60.
Равенство 60 ÷ 2 = 30 ещё пригодится нам в будущем.
5. Ищем второе слагаемое. Для этого вычисляем разность 64 - 60 = 4 . Число 4 делится на 2 без остатка, очевидно, это и есть второе слагаемое.
Теперь находим частное:
64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32 .
Пример 11. Деление натуральных чисел
Решим: 1178 ÷ 31 = ?
1. Видим, что в записи делимого на два знака больше, чем в делителе. Запоминаем число 2 .
2. К делителю справа добавляем два нуля. Получаем число 3100 .
3100 > 1178 , поэтому запомненное число 2 из первого пункта нужно уменьшить на единицу.
3. К единице справа добавляем один нуль и получаем рабочий разряд - десятки.
4. Умножаем 31 на 10 , 20 , 30 , . . и т.д.
31 · 10 = 310 ; 31 · 20 = 620 ; 31 · 30 = 930 ; 31 · 40 = 1240
1240 > 1178 , следовательно, первым слагаемым является число 930 .
5. Вычисляем разность 1178 - 930 = 248 . С числом 248 на месте делимого начинаем искать второе слагаемое.
1. В записи числа 248 на один знак больше, чем в числе 31 . Запоминаем цифру 1 .
2. К 31 прибавляем справа один нуль. Так как 310 > 248 , уменьшаем полученную в предыдущем пункте единицу, и в итоге имеем число 0 .
3. Так как мы запомнили число 0 , то к единице не нужно приписывать дополнительных нулей, и разряд единиц - рабочий разряд.
4. Последовательно умножаем 31 на 1 , 2 , 3 , . . и т.д., сравнивая результат c делимым.
31 · 1 = 31 ; 31 · 2 = 62 ; 31 · 3 = 93 ; 31 · 4 = 124 ; 31 · 5 = 155 ; 31 · 6 = 186 ; 31 · 7 = 217 ; 31 · 8 = 248
Таким образом, именно число 248 и является вторым слагаемым, которое делится на 31 .
5. Разность 248 - 248 равна нулю. Заканчиваем поиск слагаемых, запоминаем соотношение 248 ÷ 31 = 8 и находим частное.
1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38 .
Постепенно увеличиваем сложность примеров.
Пример 12. Деление натуральных чисел
Разделим 13984 на 32 .
В данном случае описанный выше алгоритм нужно будет применить три раза. Не будем приводить все выкладки, просто укажем, в виде каких слагаемых будет представлен делитель. Вы можете проверить себя, и провести вычисления самостоятельно.
Первое слагаемое равно 12800 .
12800 ÷ 32 = 400 .
Второе слагаемое равно 960 .
960 ÷ 32 = 30 .
Третье слагаемое равно 224 .
Результат:
13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437 .
Казалось бы, мы рассмотрели практически все возможные способы деления натуральных чисел. На этом, тему можно считать закрытой. Однако, есть способ, который в ряде случаев позволяет провести деление быстрее и рациональнее.
Рассмотрим его напоследок.
Представление делимого в виде разности натуральных чисел
Иногда делимое проще и удобнее представлять в виде разности, а не суммы. Это может значительно ускорить и облегчить процесс деления. Как именно? Покажем на примере.
Пример 13. Деление натуральных чисел
Разделим 594 на 6 .
Если воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, мы получим в результате:
594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99 .
Однако, если число 594 представить в виде разности 600 - 6 , все становится гораздо очевиднее. Оба числа 600 и 6) делятся на 6 . По свойству деления разности натуральных чисел, мы получаем:
594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99
Результат тот же, но действия объективно легче и проще.
Решим еще один пример тем же методом. Отметим, что важно уметь правильно заметить, какую манипуляцию сделать с числами, чтобы провести деление легко. Скажем даже, что в этом присутствует некоторый элемент искусства.
Пример 14. Деление натуральных чисел
Вспоминаем таблицу умножение и понимаем: число 483 удобно представить в виде 483 = 490 - 7 .
490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1
Проводим деление:
483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69 .
Проверка результата деления
Проверка никогда не бывает лишней, особенно, если мы делили большие числа. Как проверять, правильно ли выполнено деление натуральных чисел? При помощи умножения!
Чтобы проверить правильно ли выполнено деление, нужно частное умножить на делитель. В результате должно получится делимое.
Смысл этого действия очень прост. Например, у нас было a предметов, и эти a предметов мы разложили на b кучек. В каждой кучке оказалось по с предметов. Математически это выглядит так:
Теперь объединим обратно все b кучек по с предметов. В результате должно получится та же совокупность предметов a .
Рассмотрим проведение проверки на двух примерах.
Пример 15. Проверка результата деления натуральных чисел
Число 475 разделили на 19 . В результате получилось 25 . Правильно ли выполнено деление?
Умножим частное 25 на делитель 19 и выясним, верно ли разделили числа.
25 · 19 = 475 .
Число 475 равно делимому, значит, деление выполнено верно.
Пример 16. Проверка результата деления натуральных чисел
Разделите и проверьте результат:
Будем представлять делимое в виде суммы слагаемых и осуществлять деление.
1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32 .
Проверим результат:
32 · 32 = 1024 .
Вывод: деление выполнено верно.
Проверка результата деления чисел делением
Рассмотренный выше способ проверки основан на умножении. Существует также проверка делением. Как ее проводить?
Проверка результата деления
Чтобы проверить верно ли найдено частное, нужно делимое разделить на полученное частное. В результате должен получится делитель.
Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.
Правило основано на той же связи между делимым, делителем и частным, что и правило из предыдущего пункта.
Рассмотрим примеры.
Пример 17. Проверка результата деления натуральных чисел
Верно ли равенство:
Разделим делимое на частное:
104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13 .
В результате получился делитель, значит, деление выполнено верно.
Пример 18. Проверка результата деления натуральных чисел
Вычислим и проверим: 240 ÷ 15 = ?
Представляя делимое в виде суммы, получаем:
240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16 .
Проверяем результат:
240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15 .
Деление выполнено верно.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этой статье мы разберемся с правилами, по которым проводится деление натуральных чисел . Здесь мы будем рассматривать лишь деление натуральных чисел без остатка , или, как его еще называют, деление нацело (то есть, только те случаи, в которых сохраняется ). Деление натуральных чисел с остатком > заслуживает отдельной статьи.
Правила деления натуральных чисел невозможно сформулировать, если не проследить связь деления с умножением, что и сделано в самом начале этой статьи. Далее разобраны самые простые правила деления, напрямую следующие из свойств этого действия - это деление равных натуральных чисел и деление натурального числа на единицу. После этого подробно на примерах рассмотрено деление с использованием таблицы умножения. Дальше показано, как выполняется деление на десять, сто, тысячу и т.д., деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , и все остальные случаи. Весь материал снабжен примерами с детальным описанием решений. В конце статьи показано, как выполняется проверка результата деления при помощи умножения. В итоге Вы будете владеть всеми навыками, необходимыми для деления произвольных натуральных чисел.
Навигация по странице.
Связь деления с умножением
Давайте проследим связь между делением и умножением. Для этого вспомним, что деление связано с представлением множества, которое мы делим, в виде объединения нескольких одинаковых множеств, на которые мы делим исходное множество (об этом мы говорили в разделе общее представление о делении). В свою очередь умножение связано с объединением некоторого количества одинаковых множеств в одно (при необходимости обращайтесь к разделу теории общее представление об умножении). Таким образом, деление является действием, обратным к умножению .
Поясним, что же означает последняя фраза.
Для этого рассмотрим следующую ситуацию. Пусть мы имеем b множеств по c предметов в каждом, и мы объединяем их в одно множество, в котором получается a предметов. На основании смысла умножения натуральных чисел можно утверждать, что описанному действию отвечает равенство c·b=a . Теперь полученное множество вновь разделим на b одинаковых множеств. Понятно, что при этом в каждом полученном множестве будет c предметов. Тогда, вспомнив смысл деления натуральных чисел , можно записать равенство a:b=c .
Приходим к следующему утверждению: если произведение натуральных чисел c и b равно a , то частное от деления a на b равно c .
Итак, если c·b=a , то a:b=c . Однако в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел мы можем равенство c·b=a переписать в виде b·c=a , откуда следует, что a:c=b . Таким образом, если мы знаем, что произведение двух натуральных чисел с и b равно a , то есть, c·b=a , то мы можем сказать, что частные a:b и a:c равны c и b соответственно .
На основании всей приведенной информации можно дать определение деления натуральных чисел на основе умножения.
Определение.
Деление – это действие, с помощью которого находится один множитель, когда известно произведение и другой множитель.
На базе этого определения мы и будем строить правила деления натуральных чисел.
Деление натуральных чисел как последовательное вычитание
В принципе знание того, что деление является действием, обратным к умножению, достаточно для того, чтобы научиться проводить это действие. Однако хочется рассказать еще об одном подходе к проведению деления натуральных чисел, в котором деление рассматривается как последовательное вычитание. Связано это с его простотой и очевидностью.
Чтобы все было максимально понятно, давайте рассмотрим пример.
Пример.
Чему равен результат деления 12 на 4 ?
Решение.
Отталкиваясь от смысла деления натуральных чисел, поставленную задачу можно смоделировать так: имеется 12 предметов, их нужно разделить на равные кучки по 4 предмета в каждой, количество полученных кучек даст нам ответ на вопрос, чему равно частное 12:4 .
Давайте последовательно шаг за шагом будем из исходных предметов забирать по 4 предмета и формировать из них требуемые кучки до того момента, пока не закончатся исходные предметы. Количество шагов, которые нам потребуется сделать, укажет нам количество получившихся кучек, а значит и ответ на поставленный вопрос.
Итак, из исходных 12 предметов откладываем 4 в сторону, они образуют первую кучку. После этого действия в исходной куче остается 12−4=8 предметов (при необходимости вспомните смысл вычитания натуральных чисел). Из этих 8 предметов забираем еще 4 предмета, и формируем из них вторую кучку. После этого действия в исходной куче предметов остается 8−4=4 предмета. Очевидно, что из оставшихся предметов можно сформировать еще одну, третью по счету, кучку, после чего у нас не останется ни одного предмета в исходной куче (то есть, у нас будет 4−4=0 предметов в исходной куче). Таким образом, мы получили 3 кучки, и можно сказать, что мы выполнили деление натурального числа 12 на натуральное число 4 , при этом получили 3 .
Ответ:
12:4=3 .
Теперь давайте отойдем от предметов и посмотрим, что же мы делали с натуральными числами 12 и 4 ? Мы проводили последовательное вычитание делителя 4 до того момента, пока не получили нуль, при этом считали количество требуемых действий, которое и дало нам результат деления.
Вывод: деление одного натурального числа на другое можно провести, выполняя последовательное вычитание .
Для закрепления материала этого пункта статьи рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Вычислим частное 108:27 , проводя последовательное вычитание.
Решение.
Второе действие: 81−27=54 .
Третье действие: 54−27=27 .
Четвертое действие 27−27=0 (это свойство вычитания равных натуральных чисел).
Итак, мы получили нуль, последовательно проведя вычитание 4 раза, следовательно, 108:27=4 .
Ответ:
108:27=4 .
Стоит заметить, что деление натуральных чисел таким способом удобно применять лишь тогда, когда требуется небольшое количество последовательных вычитаний для получения результата. В остальных случаях используются правила деления натуральных чисел, которые мы подробно разберем ниже.
Деление равных натуральных чисел
Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице . Это утверждение является свойством деления равных натуральных чисел .
К примеру, 1:1=1 , 143:143=1 , результатом деления натуральных чисел 10 555 и 10 555 также является единица.
Деление натурального числа на единицу
По таблице умножения можно также отыскать один из двух однозначных множителей, если известно произведение и другой множитель. А мы в первом пункте данной статьи выяснили, что деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Таким образом, с помощью таблицы умножения можно проводить деление любого из натуральных чисел, расположенных в таблице умножения на розовом фоне, на однозначное натуральное число.
Для примера, разделим 48 на 6 . С помощью таблицы умножения это можно сделать одним из двух способов. Приведем сначала графическую иллюстрацию, после чего дадим описание.
Первый способ (соответствует рисунку выше слева). Находим делимое (в нашем примере это натуральное число 48 ) в том столбце, в верхней ячейке которого находится делитель (для нашего примера число 6 ). Результат деления находится в крайней левой ячейке той строки, в которой расположено найденное делимое. Для нашего примера это число 8 , которое обведено окружностью синего цвета.
Второй способ (соответствует рисунку выше справа). Находим делимое 48 в той строке, в левой ячейке которого расположен делитель 6 . Искомое частное в этом случае находится в верхней ячейке того столбца, в котором расположено найденное делимое 48 . Результат обведен синей окружностью.
Итак, мы с помощью таблицы умножения разделили 48 на 6 и получили 8 .
Для закрепления материала приведем чертеж, показывающий процесс деления натурального числа 7 на 1 .
Деление на 10 , 100 , 1 000 и т.д.
Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10 , 100 , 1 000 , … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.
Результатом деления натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр 0 , сколько их содержится в записи делимого).
Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру 0 ), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры 0 ).
Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить правила умножения натурального числа на десять, сто, тысячу и т.д. Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100 . Так как 102·100=10 200 , то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102 .
Представление делимого в виде произведения
Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число .
Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.
Пример.
Разделим 30 на 3 .
Решение.
Очевидно, что делимое 30 можно представить в виде произведения натуральных чисел 3 и 10 . Имеем 30:3=(3·10):3 . Воспользоваться свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10 . Итак, частное от деления 30 на 3 равно 10 .
Ответ:
30:3=10 .
Приведем решения еще пары аналогичных примеров.
Пример.
Разделите 7 200 на 72 .
Решение.
В этом случае делимое 7 200 можно рассматривать как произведение чисел 72 и 100 . При этом получаем следующий результат: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100 .
Ответ:
7 200:72=100 .
Пример.
Разделим 1 600 000 на 160 .
Решение.
Очевидно, что 1 600 000 – это произведение 160 и 10 000 , поэтому 1 600 000:160=(160·10 000):160= (160:160)·10 000=1·10 000=10 000 .
Ответ:
1 600 000:160=10 000 .
В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.
Пример.
Выполните деление натурального числа 5 400 на 9 .
Решение.
По таблице умножения мы можем разделить 54 на 9 , поэтому делимое 5 400 логично представить в виде произведения 54·100 и закончить деление: 5 400:9=(54·100):9= (54:9)·100=6·100=600 .
Ответ:
5 400:9=600 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Вычислим частное 120:4 .
Решение.
Для этого делимое 120 представим в виде произведения 12 и 10 , после чего воспользуемся свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30 .
Ответ:
120:4=30 .
Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0
Здесь нам потребуется вспомнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел . Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.
Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.
Пример.
Разделим 490 на 70 .
Решение.
Так как 70=10·7 , то 490:70=490:(10·7) . Последнее выражение в силу свойства деления натурального числа на произведение равно (490:10):7 . Делить на 10 мы научились в одном из предыдущих пунктов, получаем (490:10):7=49:7 . Полученное частное находим по таблице умножения, в итоге получаем 490:70=7 .
Ответ:
490:70=7 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.
Пример.
Вычислим частное 54 000:5 400 .
Решение.
Представляем 5 400 в виде произведения 100·54 и выполняем деление натурального числа на произведение: 54 000:5 400=54 000:(100·54)= (54 000:100):54=540:54 . Здесь осталось представить 540 как 54·10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту) и закончить вычисления: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Итак, 54 000:5 400=10 .
Ответ:
54 000:5 400=10 .
Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры 0 , то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел . Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры 0 .
Подбор частного
Пусть натуральные числа a и b таковы, что a делится на b , причем если b умножить на 10 , то получится число, которое больше, чем a . В этом случае частное a:b является однозначным натуральным числом, то есть, числом от 1 до 9 , и его проще всего подобрать. Для этого делитель последовательно умножается на 1 , 2 , 3 и так далее до того момента, пока произведение не будет равно делимому. Как только такое равенство будет получено, то будет найдено частное a:b .
Рассмотрим пример.
Пример.
Найдем частное 108:27 .
Решение.
Очевидно, что делитель 108 меньше, чем 27·10=270 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Подберем частное. Для этого последовательно будем умножать делитель 27 на 1 , 2 , 3 , …, пока не получим делимое 108 . Поехали: 27·1=27 , 27·2=54 , 27·3=81 , 27·4=108 (при необходимости смотрите статью умножение натуральных чисел). Следовательно, 108:27=4 .
Ответ:
108:27=4 .
В заключении этого пункта отметим, что частное в таких случаях можно не подбирать, а находить его с помощью .
Представление делимого в виде суммы натуральных чисел
Если все способы, рассмотренные выше, не позволяют выполнить деление натуральных чисел, то нужно делимое представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых легко делится на делитель. Далее придется использовать свойство деления суммы натуральных чисел на данное число , и закончить вычисления. Остается главный вопрос: «В виде каких слагаемых представлять делимое"?
Опишем алгоритм получения слагаемых, дающих в сумме делимое. Для большей доступности будем одновременно рассматривать пример, в котором делимое равно 8 551 , а делитель равен 17 .
Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.
Например, если делимым является натуральное число 8 551 , а делителем – число 17 , то запись делимого содержит на 2 знака больше (8 551 – четырехзначное число, 17 – двухзначное, таким образом, разница в количестве знаков определяется разностью 4−2=2 ). То есть, запоминаем число 2 .
Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .
Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 17 дописываем справа две цифры 0 , при этом получаем число 1 700 . Это число меньше, чем делимое 8 551 , поэтому запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 2 .
После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.
В нашем примере к цифре 1 приписываем 2 ноля, имеем число 100 , то есть, мы будем работать с разрядом сотен.
Теперь последовательно умножаем делитель на 1 , 2 , 3 , … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее чем делимое.
В нашем примере рабочим разрядом является разряд сотен. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда сотен, то есть, умножаем 17 на 100 , получаем 17·100=1 700 . Полученное число 1 700 меньше делимого 8 551 , поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда сотен, то есть 17 умножаем на 200 . Имеем 17·200=3 400<8 551 , поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300 , имеем 17·300=5 100<8 551 ; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551 ; дальше 17·500=8 500<8 551 ; наконец 17·600=10 200>8 551 .
Число, полученное на предпоследнем шаге при умножении, является первым из искомых слагаемых.
В разбираемом примере искомым слагаемым является число 8 500 (это число равно произведению 17·500 , откуда видно, что 8 500:17=500 , это равенство мы используем дальше).
После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число не равно нулю, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, отличное от нуля, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет равно нулю. Как только здесь получаем 0, то все слагаемые найдены, и можно переходить к финальной части вычисления исходного частного.
Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 8 551−8 500=51 . Так как 51 не равно 0 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все шаги алгоритма.
Количество знаков в записях чисел 51 и делителя 17 одинаковое, поэтому запоминаем число 0.
В записи делителя не нужно дописывать справа ни одной цифры 0 , так как мы запоминали число 0 . То есть, число 17 остается как есть. Это число меньше, чем 51 , поэтому из запомненного числа 0 вычитать единицу не нужно. Таким образом, у нас в памяти остается число 0 .
К цифре 1 мы не будем справа приписывать ни одной цифры 0 , так как в памяти у нас находится число 0 . То есть, мы будем работать с разрядом единиц.
Теперь последовательно умножаем делитель 17 на 1 , 2 , 3 и так далее, пока не получим число, превосходящее 51 . Имеем 17·1=17<51 , 17·2=34<51 , 17·3=51 , 17·4=68>51 . На предпоследнем шаге мы получили число 51 (это число равно произведению 17·3 , и это мы используем дальше). Поэтому, вторым слагаемым является число 51 .
Находим разность между числом 51 и числом 51 , полученным в предыдущем пункте. Имеем 51−51=0 . Следовательно, останавливаем поиск слагаемых.
Теперь мы знаем, что делимое 8 551 нужно представить в виде суммы двух слагаемых 8 500 и 51 .
Закончим нахождение частного. Имеем 8 551:17=(8 500+51):17 . Теперь вспоминаем свойство деления суммы двух чисел на натуральное число, которое нас приводит к равенству (8 500+51):17=8 500:17+51:17 . Выше мы выяснили, что 8 500:17=500 и 51:17=3 . Таким образом, 8 500:17+51:17=500+3=503 . Итак, 8 551:17=503 .
Для закрепления навыков представления делимого в виде суммы слагаемых, рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Разделим 64 на 2 .
Решение.
1) В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя, поэтому запоминаем число 1 .
2) Если в записи делителя справа дописать одну цифру 0 , то мы получим число 20 , которое меньше, чем делимое 64 . Поэтому запомненное число 1 уменьшать на единицу не нужно.
3) Теперь к 1 приписываем справа одну (так как у нас в памяти число 1 ) цифру 0 , получаем число 10 , то есть, будем работать с десятками.
4) Начинаем делитель 2 последовательно умножать на 10 , 20 , 30 и т.д. Имеем: 2·10=20<64 ; 2·20=40<64 ; 2·30=60<64 ; 2·40=80>64 . Таким образом, первым слагаемым является число 60 (так как 2·30=60 , то 60:2=30 , это равенство нам пригодится дальше).
5) Вычисляем разность 64−60 , которая равна 4 . Это число мы легко можем разделить на делитель 2 , поэтому примем это число в качестве второго (и последнего) слагаемого. (Несомненно, можно было принять это число в качестве делимого, и пройти все шаги алгоритма еще раз, они нас приведут к тому, что вторым слагаемым является число 4 .)
Итак, делимое 64 мы представили в виде суммы двух слагаемых 60 и 4 . Остается закончить вычисления: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .
Ответ:
64:2=32 .
Решим еще один пример.
Пример.
Вычислим частное 1 178:31 .
Решение.
1) В записи делимого на 2 знака больше, чем в записи делителя. Поэтому запоминаем число 2 .
2) Если к записи делителя справа добавить две цифры 0 , то мы получим число 3 100 , которое больше делимого. Следовательно, запомненное в предыдущем пункте число 2 нужно уменьшить на единицу: 2−1=1 , запоминаем это число.
3) Теперь к цифре 1 добавляем справа одну цифру 0 , получаем число 10 и дальше работаем с десятками.
4) Последовательно умножаем делитель на 10 , 20 , 30 и т.д. Получаем 31·10=310<1 178 ; 31·20=620<1 178 ; 31·30=930<1 178 ; 31·40=1 240>1 178 . Так мы нашли первое слагаемое. Оно равно 930 (дальше нам пригодится равенство 930:31=30 , которое следует из равенства 31·30=930 ).
5) Вычисляем разность: 1 178−930=248 . Так как получили число, не равное нулю, то принимаем его в качестве делимого, и начинаем поиск второго слагаемого по тому же алгоритму.
1) В записи числа 248 на 1 знак больше, чем в записи делителя 31 . Поэтому запоминаем число 1 .
2) Добавляем в записи делителя справа одну цифру 0 , получаем число 310 , которое больше, чем число 248 . Поэтому, из запомненного числа 1 нужно вычесть 1 , при этом получим число 0 и запомним его.
3) Так как у нас в памяти число 0 , то к цифре 1 справа дописывать нулей не нужно. Таким образом, мы работаем с единицами.
4) Последовательно умножаем делитель 31 на 1 , 2 , 3 и так далее. Имеем 31·1=31<248 , 31·2=62<248 , 31·3=93<248 , 31·4=124<248 , 31·5=155<248 , 31·6=186<248 , 31·7=217<248 , 31·8=248 , 31·9=279>248 . Второе слагаемое равно 248 (из равенства 248=31·8 следует, что 248:31=8 , это нам потребуется дальше).
5) Вычисляем разность между числом 248 и полученным числом 248 , имеем 248−248=0 . Следовательно, на этом поиск слагаемых прекращается.
Таким образом, 1 178 представляем в виде суммы 930+248 . Осталось лишь закончить вычисления: 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (на результаты 930:31=30 и 248:31=8 мы обращали внимание выше).
Ответ:
1 178:31=38 .
Пример.
Разделите натуральное число 13 984 на 32 , представив делимое в виде суммы нескольких слагаемых.
Решение.
В этом примере делимое будет представлено в виде трех слагаемых, так как алгоритм придется применять три раза. При этом получится, что первое слагаемое будет равно 12 800 (при этом 12 800=32·400 , следовательно, 12 800:32=400 ), второе – 960 (при этом 960=32·30 , следовательно, 960:32=30 ), а третье – 224 (при этом 224=32·7 , следовательно, 224:32=7 ).
Тогда 13 984:32=(12 800+960+224):32= 12 800:32+960:32+224:32= 400+30+7=437 .
Ответ:
13 984:32=437 .
На этом основные правила деления натуральных чисел можно считать изученными, и этих правил достаточно, чтобы провести деление произвольных натуральных чисел (если это действие вообще возможно выполнить). Но следует обратить внимание еще на одно правило, которое в некоторых случаях позволяет выполнить деление натуральных чисел рациональнее, быстрее и проще.
Легко делятся на
483:7=69 .
Проверка результата деления натуральных чисел умножением
После того, как деление натуральных чисел закончено, не лишним будет сделать проверку полученного результата. Проверка результата деления осуществляется при помощи умножения: чтобы проверить правильность результата деления нужно частное умножить на делитель, при этом должно получиться делимое . Если при умножении получилось число, которое отлично от делимого, то в процессе деления где-то была допущена ошибка.
Немного поясним, откуда взялось это правило для проверки результата деления натуральных чисел. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, при этом в каждой кучке оказалось c предметов. По смыслу деления натуральных чисел мы можем записать равенство вида a:b=c , которое отвечает проведенному нами действию. Теперь, если обратно объединить все b кучек, в каждой из которых по c предметов, то понятно, что мы получим исходное множество предметов, в котором их будет a штук. То есть, по смыслу умножения натуральных чисел имеем b·c=a . Таким образом, если a:b=c , то также должно быть справедливо равенство b·c=a . На этом и основано правило проверки результата деления натуральных чисел при помощи умножения.
Рассмотрим решения примеров, в которых осуществляется проверка результата деления с помощью умножения.
Пример.
Натуральное число 475 было разделено на натуральное число 19 , при этом получилось частное 25 . Правильно ли выполнено деление?
960+64 (это мы сделали по алгоритму, описанному в одном из предыдущих пунктах этой статьи). Тогда 1 024:32=(960+64):32= 960:32+64:32=30+2=32 .
Осталось выполнить проверку полученного результата. Для этого умножим полученное частное 32 на делитель 32 , имеем 32·32=1 024 . Полученное число совпадает с делимым, поэтому частное вычислено правильно.
Ответ:
1 024:32=32 .
Проверка результата деления натуральных чисел делением
Проверить результат деления натуральных чисел можно не только при помощи умножения, но и при помощи деления. Сформулируем правило, позволяющее проводить проверку результата деления делением.
Чтобы проверить, правильно ли найдено частное от деления двух натуральных чисел, нужно делимое разделить на полученное частное . При этом, если получается число, равное делителю, то деление выполнено верно, в противном случае, где-то в вычислениях была допущена ошибка.
Это правило основано на достаточно очевидной связи делимого, делителя и частного. Проследить эту связь нам помогут следующие рассуждения. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, после чего в каждой кучке оказалось c предметов в каждой. Понятно, что если эти a предметов разложить в кучки по c предметов в каждой, то таких кучек получится b штук. Таким образом, если a:b=c , то a:c=b , аналогично, если a:c=b , то a:b=c . Об этом же мы упоминали выше в пункте .
Осталось рассмотреть несколько примеров проверки результата деления натуральных чисел при помощи деления.
Пример.
При делении натурального числа 104
на 13
