Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.

Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).

Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1. Аналитический.

Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.

2. Табличный способ задания функции.

Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.

3. Графический способ задания функции.

Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

1)Область определения функции.

Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

2) Промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Нули функции.

Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

4)Чётность и нечётность функции.

Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = у(х).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = -у(х).

График чётной функции симметричен относительно начала координат.

Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

5)Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

у(х + Р) = у(х).

Линейная функция, её свойства и график.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.

k – угловой коэффициент (действительное число)

b – свободный член (действительное число)

x – независимая переменная.

· В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

· Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.

Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.

Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы .

График можно строить по следующей схеме: 1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0). 2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a. 3) Соединяем обозначены точки плавной линией. Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3. Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1. Свойства функции.

Линейная функция – это функция вида

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

Графиком линейной функции является прямая .

Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

Где коэффициент k = 3, следовательно

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

ООФ линейной функции

ОЗФ линейной функции

Кроме случая, где

Так же линейная функция вида

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

– нули функции.

Ответ: или (;0)

Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5 .

Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6 .

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

Второй график имеет формулу

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.