Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b , где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности .

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = -
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = - :
x

>>Математика: Линейная функция и ее график

Линейная функция и ее график

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.

Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2) где k,m - числа (коэффициенты), причем .

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы :

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) - нет: конкретные значения мы придаем одной из них - переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х - независимая переменная (или аргумент), у - зависимая переменная.

Обратите внимание: линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения у - kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая - ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение. Составим таблицу:

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е - знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:

Пример 2. Построить график линейной функции:

Решение, а) Составим таблицу для линейной функции y = 2x + 1

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это - график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но - будьте внимательны! - на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на отрезке .
Решение. Составим таблицу для линейной функции

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую - график линейной х функции (рис. 42).

Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке , т. е. для х е .

Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 - это и есть наибольшее значение линейной функции на отрезке . Обычно используют такую запись: у наиб =7.

Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 - это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке .
Обычно используют такую запись: y наим. = 4.

Пример 4. Найти у наиб и y наим. для линейной функции y = -1,5x + 3,5

а) на отрезке ; б) на интервале (1,5);
в) на полуинтервале .

Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала (рис. 47).

а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что у наиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у наим. = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.

в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y наиб. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у наиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у наим. не существует.

д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у наиб., не существует.

Пример 5. Построить график линейной функции

у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у < 0?

Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую - график функции у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

в) у < 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2x - 6 < 0 (получили х < 3).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m - конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m

.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейная функция в жизни

А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.

Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?

Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.

Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.

Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.

Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.

Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:

Теперь давайте выведем формулу зависимости:

В итоге мы получили линейную зависимость.

Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Линейная функция – это функция вида

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

Графиком линейной функции является прямая .

Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

Где коэффициент k = 3, следовательно

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

ООФ линейной функции

ОЗФ линейной функции

Кроме случая, где

Так же линейная функция вида

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

– нули функции.

Ответ: или (;0)

Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5 .

Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6 .

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

Второй график имеет формулу

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

В 7-м классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx + m, у = х 2 и пришли в итоге к выводу о том, что уравнение с двумя переменными вида у = f(x) (функция) есть математическая модель, удобная для того, чтобы, задав конкретное значение независимой переменной х (аргумента), вычислить соот-

ветствующее значение зависимой переменной у. Например, если дана функция у = х 2 , т.е. f(x) = х 2 , то при х = 1 получаем у = 1 2 = 1; короче это записывают так: f(1) = 1. При х = 2 получаем f(2)= 2 2 = 4, т. е. у = 4; при х = - 3 получаем f(- 3) = (- З) 2 = 9, т. е. у = 9, и т. д.

Уже в 7-м классе мы с вами начали понимать, что в равенстве у = f(х) правая часть, т.е. выражение f(x), не исчерпывается перечисленными выше четырьмя случаями (С, kx, kx + m, х 2).
Так например, нам уже встречались кусочные функции, т. е. функции, заданные разными формулами на разных промежутках. Вот одна из таких функций:

у = f(x), где

Помните, как строить графики таких функций? Сначала надо построить параболу у = х 2 и взять ее часть при х < 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х > 0 (рис. 2). И, наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т. е. построить на одной координатной плоскости (см. рис. 3).

Теперь наша задача состоит в следующем: пополнить запас изученных функций. В реальной жизни встречаются процессы, описываемые различными математическими моделями вида у = f(x), не только теми, что мы перечислили выше. В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = kx 2 , где коэффициент k — любое отличное от нуля число.

На самом деле функция у = kx 2 в одном случае вам немного знакома. Смотрите: если k = 1, то получаем у = х 2 ; эту функцию вы изучили в 7-м классе и, наверное, помните, что ее графиком является парабола (рис. 1). Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента k.
Рассмотрим две функции: у = 2х 2 и у = 0,5x 2 . Составим таблицу значений для первой функции у = 2х 2:

Построим точки (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) на координатной плоскости (рис. 4); они намечают некоторую линию, проведем ее

(рис. 5).
Составим таблицу значений для второй функции у = 0,5x 2:

Построим точки (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4,5), (-3; 4,5) на координатной плоскости (рис. 6); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 7)

.

Точки, изображенные на рис. 4 и 6, называют иногда контрольными точками для графика соответствующей функции.

Сравните рисунки 1, 5 и 7. Не правда ли, проведенные линии похожи? Каждую из них называют параболой; при этом точку (0; 0) называют вершиной параболы, а ось у — осью симметрии параболы. От величины коэффициента k зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как еще говорят,
«степень крутизны» параболы. Это хорошо видно на рис. 8, где все три построенные выше параболы расположены на одной координатной плоскости.

Точно так же обстоит дело с любой другой функцией вида у = kx 2 , где k > 0. Графиком ее является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх, причем тем круче, чем больше коэффициент k. Ось у является осью симметрии параболы. Кстати, ради краткости речи математики часто вместо длинной фразы «парабола, служащая графиком функции у = kx 2 », говорят «парабола у = кх 2 », а вместо термина «ось симметрии параболы» используют термин «ось параболы».

Вы замечаете, что имеется аналогия с функцией у = kx? Если k > 0, то графиком функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат (помните, мы говорили коротко:прямая у = kx), причем и здесь от величины коэффициента k зависит «степень крутизны» прямой. Это хорошо видно на
рис. 9, где в одной системе координат изображены графики линейных функций у = kx при трех значениях коэффициента

Вернемся к функции у = kx 2 . Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента ft. Построим, например, график функции

у = - х 2 (здесь k = - 1). Составим таблицу значении:

Отметим точки (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) на координатной плоскости (рис. 10); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 11). Это — парабола с вершиной в точке (0; 0), ось у — ось симметрии, но в отличие от случая, когда k > 0, на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента k.

Итак, графиком функции является парабола с вершиной в начале координат; ось у является осью параболы; ветви параболы направлены вверх приk>0 u вниз при k<0.

Отметим еще, что парабола у = kx 2 касается оси х в точке (0; 0), т. е. одна ветвь параболы плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси х.
Если построить в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = - х2, то нетрудно заметить, что эти параболы симметричны друг другу относительно оси х, что хорошо видно на рис. 12. Точно так же симметричны друг другу относительно оси х параболы у = 2х 2 и у = - 2х 2 (не поленитесь, постройте эти
две параболы в одной системе координат и убедитесь в справедливости сделанного утверждения).

Вообще, график функции у = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси абсцисс.

Свойства функции у = kx 2 при k > 0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — параболу (рис. 13).

1. Так как для любого значения х по формуле у = kx 2 можно вычислить соответствующее значение у, то функция определена в любой точке х (при любом значении аргумента х). Короче это записывают так: область определения функции есть (-оо, +оо), т. е. вся координатная прямая.

2. у = 0 при х = 0; у > О при . Это видно и по графику функции (он весь расположен выше оси х), но можно обосновать и без помощи графика: если

То kx 2 > О как произведение двух положительных чисел k и х 2 .

3. у = kx 2 — непрерывная функция. Напомним, что этот термин мы рассматриваем пока как синоним предложения «график функции есть сплошная линия, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги». В старших классах будет дано более точное математическое истолкование понятия непрерывности функции, не опирающееся на геометрическую иллюстрацию.

4.y/ наим = 0 (достигается при х = 0); у наи6 не существует.

Напомним, что {/наим — это наименьшее значение функции, а Унаиб. — наибольшее значение функции на заданном промежутке; если промежуток не указан, то унаим- и у наиб, — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области определения.

5. Функция у = kx 2 возрастает при х > О и убывает при х < 0.

Напомним, что в курсе алгебры 7-го класса мы договорились называть функцию, график которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы «в горку», возрастающей, а функцию, график которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы «под горку», — убывающей. Более точно можно сказать так: функцию у = f (x) называют возрастающей на промежутке X, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует
большее значение функции; функцию у = f (x) называют убывающей на промежутке X, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В учебнике «Алгебра—7» процесс перечисления свойств функции мы называли чтением графика. Процесс чтения графика будет у нас постепенно становиться все насыщеннее и интереснее — по мере изучения новых свойств функций. Те пять свойств, которые перечислены выше, мы обсуждали в 7-м классе для изученных там функций. Добавим одно новое свойство.

Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу, если все значения функции больше некоторого числа. Геометрически это означает, что график функции расположен выше некоторой прямой, параллельной оси х.

А теперь посмотрите: график функции у = kx 2 расположен выше прямой у = - 1 (или у = - 2, это неважно) — она проведена на рис. 13. Значит, у — kx2 (k > 0) — ограниченная снизу функция.

Наряду с функциями, ограниченными снизу, рассматривают и функции, ограниченные сверху. Функцию у — f(x) называют ограниченной сверху, если все значения функции меньше некоторого числа. Геометрически это означает, что график функции расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси х.
Имеется ли такая прямая для параболы у = kx 2 , где k > 0? Нет. Это значит, что функция не является ограниченной сверху.

Итак, мы получили еще одно свойство, добавим его к тем пяти, что указаны выше.

6. Функция у = kx 2 (k > 0) ограничена снизу и не ограничена сверху.

Свойства функции у = kx 2 при k < 0

При описании свойств этой функции мы опираемся на ее геометрическую модель — параболу (рис. 14).

1.Область определения функции — (—оо, +оо).

2. у = 0 при х = 0; у < 0 при .

З.у = kx 2 — непрерывная функция.
4. у наи6 = 0 (достигается при х = 0), унаим не существует.

5. Функция возрастает при х < 0, убывает при х > 0.

6.Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Дадим пояснения последнему свойству: имеется прямая, параллельная оси х (например, у = 1, она проведена на рис. 14), такая, что вся парабола лежит ниже этой прямой; это значит, что функция ограничена сверху. С другой стороны, нельзя провести такую прямую, параллельную оси х, чтобы вся парабола была расположена выше этой прямой; это значит, что функция не ограничена снизу.

Использованный выше порядок ходов при перечислении свойств функции не является законом, пока он сложился хронологически именно таким.

Более-менее определенный порядок ходов мы выработаем постепенно и унифицируем в курсе алгебры 9-го класса.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 2х 2 на отрезке: а) ; б) [- 2, - 1]; в) [- 1, 1,5].

Решение.
а) Построим график функции у = 2х 2 и выделим его часть на отрезке (рис. 15). Замечаем, что 1/наим. = 0 (достигается при х = 0), а у наиб = 8 (достигается при х = 2).

б) Построим график функции у = 2х 2 и выделим его часть на отрезке [- 2, - 1] (рис. 16). Замечаем, что 2/наим = 2 (достигается при х = - 1), а y наиб = 8 (достигается при х = - 2).

в) Построим график функции у = 2х 2 и выделим его часть на отрезке [- 1, 1,5] (рис. 17). Замечаем, что унанм = 0 (достигается при х = 0), а y наиб достигается в точке х = 1,5; подсчитаем это значение:(1,5) = 2-1,5 2 = 2- 2,25 = 4,5. Итак, y наиб =4,5.

Пример 2. Решить уравнение - х 2 = 2х - 3.

Решение. В учебнике «Алгебра—7» мы выработали алгоритм графического решения уравнений, напомним его.

Чтобы графически решить уравнение f(x) = g (x), нужно:

1) рассмотреть две функции у = -x 2 и у = 2x -3;
2) построить график функции i/ = / (х) ;
3) построить график функции у = g (x);
4) найти точки пересечения построенных графиков; абсцис-
сы этих точек — корни уравнения f(x) = g (x).
Применим этот алгоритм к заданному уравнению.
1) Рассмотрим две функции: у = - х2 и у = 2х - 3.
2) Построим параболу — график функции у = - х 2 (рис. 18).

3) Построим график функции у = 2х - 3. Это — прямая, для ее построения достаточно найти любые две точки графика. Если х = 0, то у = - 3; если х = 1,

то у = -1. Итак, нашли две точки (0; -3) и (1; -1). Прямая, проходящая через эти две точки (график функции у = 2х - 3), изображена на том же

чертеже (см. рис. 18).

4) По чертежу находим, что прямая и парабола пересекаются в двух точках А(1; -1) и Б(-3; -9). Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и - 3 — это абсциссы точек А и В.

Ответ: 1,-3.

Замечание. Разумеется, нельзя слепо доверять графическим иллюстрациям. Может быть, нам только кажется, что точка А имеет координаты (1; — 1), а на
самом деле они другие, например (0,98; - 1,01)?

Поэтому всегда полезно проверить себя. Так, в рассмотренном примере надо убедиться, что точка А(1; —1) принадлежит параболе у = — х 2 (это легко — достаточно подставить в формулу у = — х 2 координаты точки А; получим - 1 = - 1 2 — верное числовое равенство) и прямой у = 2х - 3 (и это легко — достаточно подставить в формулу у = 2х - 3 координаты точки А; получим - 1 =2-3 — верное числовое равенство). То же самое надо сделать и для
точки 8. Эта проверка показывает, что в рассмотренном уравнении графические наблюдения привели к верному результату.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Преобразуем первое уравнение системы к виду у = - х 2 . Графиком этой функции является парабола, изображенная на рис. 18.
Преобразуем второе уравнение системы к виду у = 2х - 3. Графиком этой функции является прямая, изображенная на рис. 18.

Парабола и прямая пересекаются в точках А(1; -1) и В (- 3; - 9). Координаты этих точек и служат решениями заданной системы уравнений.

Ответ: (1; -1), (-3; -9).

Пример 4. Дана функция у — f (x), где

Требуется:

а) вычислить f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

б) построить график функции;

в) с помощью графика перечислить свойства функции.

Решение,

а) Значение х = - 4 удовлетворяет условию —, следовательно, f(-4) надо вычислять по первой строке задания функции.Имеем f(x) = - 0,5x2, значит,
f(-4) = -0,5. (-4) 2 = -8.
Аналогично находим:

f(-2) = -0,5. (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5. 0 2 = 0.

Значение удовлетворяет условию , поэтому надо вычислять по второй строке задания функции. Имеем f(х) = х + 1, значит,

Значение х = 1,5 удовлетворяет условию 1 < х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Аналогично получим
f(2)= 2. 2 2 =8.
Значение х = 3 не удовлетворяет ни одному из трех условий задания функции, а потому f(3) в данном случае вычислить нельзя, точка х = 3 не принадлежит области определения функции. Задание, состоящее в том, чтобы вычислить f(3), — некорректно.

б) Построение графика осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -0,5x 2 и выделим ее часть на отрезке [-4, 0] (рис. 19). Затем построим прямую у = х + 1 и. выделим ее часть на полуинтервале (0, 1] (рис. 20). Далее построим параболу у = 2х 2 и выделим ее часть на полуинтервале

(1, 2] (рис. 21).

Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной системе координат; получим график функции у = f(x) (рис. 22).

в) Перечислим свойства функции или, как мы условились говорить, прочитаем график.

1. Область определения функции — отрезок [—4, 2].

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Функция претерпевает разрыв при х = 0.

4. Функция возрастает на отрезке [-4, 2].

5. Функция ограничена и снизу и сверху.

6. y наим = -8 (достигается при х = -4); y наи6 . = 8 (достигается при х = 2).

Пример 5. Дана функция у = f(x) , где f(x) = Зх 2 . Найти:

f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх),f(x - 1),
f(x + а), f(x) + 5, f(х) + b, f(x + а) + b, f(x 2), f(2х 3).

Решение. Так как f (х) = Зх 2 , то последовательно получаем:

f(1) =3.1 2 = 3;
f(a) = За 2 ;
f(а+1) = 3(а + 1) 2 ;
f(3х) = 3 .(3х) 2 = 27х 2 ;
f(x + а) = 3(х + а) 2 ;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3. (x 2) 2

F(- 2) = З. (-2) 2 = 12
f(2a) =З. (2a) 2 =12a 2

F(x) =З. (-x) 2 =3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f{x + а) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x 3) = 3. (2x 3) 2

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.