Твердые, жидкие, газообразные тела больших размеров можно рассматривать как среду, состоящую из отдельных частиц, взаимодействующих между собой силами связи. Возбуждение колебаний частиц среды в одном месте вызывает вынужденные колебания соседних частиц, те в свою очередь возбуждают колебания следующие и т. д.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Возьмем длинный резиновый шнур и заставим один конец шнура совершать вынужденные колебания в вертикальной плоскости. Силы упругости, действующие между отдельными частями шнура, приведут к распространению колебаний вдоль шнура, и мы увидим волну, бегущую вдоль шнура.

Другой пример механических волн - волны на поверхности воды.

При распространении волн в шнуре или на поверхности воды колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волн. Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению распространения, называются поперечными волнами.

Продольные волны.

Не всякие волны можно увидеть. После удара молотком по ветви камертона мы слышим звук, хотя никаких волн в воздухе не видим. Ощущение звука в наших органах слуха возникает при периодическом изменении давления воздуха. Колебания ветви камертона сопровождаются периодическими сжатиями и разрежениями воздуха вблизи нее. Эти процессы сжатия и разрежения распространяются

в воздухе во все стороны (рис. 220). Они и являются звуковыми волнами.

При распространении звуковой волны частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения колебаний. Волны, в которых колебания происходят вдоль направления распространения волны, называют продольными волнами.

Продольные волиы могут возникать в газах, жидкостях и твердых телах; поперечные волны распространяются в твердых телах, в которых возникают силы упругости при деформации сдвига или под действием сил поверхностного натяжения и силы тяжести.

Как в поперечных, так и в продольных волнах процесс распространения: колебаний, не сопровождается переносом вещества в направлении распространения волны. В каждой точке пространства частицы лишь совершают колебания относительно положения равновесия. Но распространение колебаний сопровождается передачей энергии колебаний от одной точки среды к другой.

Длина волны.

Скорость распространения волны. Скорость распространения колебаний в пространстве называется скоростью волны. Расстояние между ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах (рис. 221), называется длиной волны. Связь между длиной волны К, скоростью волны и периодом колебаний Г дается выражением

Так как то скорость волны связана с частотой колебаний уравнением

Зависимость скорости распространения волн от свойств среды.

При возникновении волн их частота определяется частотой колебаний источника волн, а скорость зависит от свойств среды. Поэтому волны одной и той же частоты имеют различную длину в разных средах.

Волны

Основными видами волн являются упругие (например, звуковые и сейсмические волны), волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (в том числе световые и радиоволны). Характерная особенность волн состоит в том, что при их распространении происходит перенос энергии без переноса вещества. Рассмотрим вначале распространение волн в упругой среде.

Распространение волн в упругой среде

Колеблющееся тело, помещённое в упругую среду, будет увлекать за собой, и приводить в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Последние, в свою очередь, будут воздействовать на соседние частицы. Ясно, что увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают, так как передача колебаний от точки к точке всегда осуществляется с конечной скоростью.

Итак, колеблющееся тело, помещённое в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны.

Процесс распространения колебаний в среде называется волной . Или упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде .

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны). К ним относятся электромагнитные волны. Волны бывают продольными , когда направление колебаний совпадает с направлением распространения волны. Например, распространение звука в воздухе. Сжатие и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения волны.

Волны могут иметь различную форму, могут быть регулярными и нерегулярными. Особое значение в теории волн имеет гармоническая волна, т.е. бесконечная волна, в которой изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим упругие гармонические волны . Для описания волнового процесса используется ряд параметров. Запишем определения некоторых из них. Возмущение, происшедшее в некоторой точке среды в некоторый момент времени, распространяется в упругой среде с определенной скоростью. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени , называется фронтом волны или волновым фронтом.

Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Волновых поверхностей может быть множество, волновой фронт в каждый момент времени один.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этом случае называется плоской или сферической . В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется со скоростью вдоль оси . Графически такая волна изображается в виде функции (дзета) для фиксированного момента времени и представляет собой зависимость смещения точек с различными значениями от положения равновесия. – это расстояние от источника колебаний , на котором находится, например, частица . Рисунок дает мгновенную картину распределения возмущений вдоль направления распространения волны. Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны .

,

где – скорость распространения волны.

Групповая скорость

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность "горбов" и "впадин".

Фазовая скорость этой волны или (2)

С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все "горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,

называется волновым пакетом или группой волн .

Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.

(3)

Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.

Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw << w 0 .

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v . Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. Явление дисперсии мы рассмотрим позже в разделе "Волновая оптика". В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость v . В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.

Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U .

Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета (точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью .

В диспергирующей среде v¹ U . Вместе с движением самого волнового пакета происходит движение "горбов" внутри самого пакета. "Горбы" перемещаются в пространстве со скоростью v , а пакет в целом со скоростью U .

Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами w (разными длинами волн l ).

Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы j 0 = 0.

Здесь

Пусть Dw << w , соответственно Dk << k .

Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулой для суммы косинусов:

В первом косинусе пренебрежём Dwt и Dkx , которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–a) = cosa . Окончательно запишем.

(4)

Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (4) представлена на рисунке, изображённом выше.

Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды.

Максимум амплитуды будет определяться следующим условием.

(5)

m = 0, 1, 2…

x max – координата максимальной амплитуды.

Косинус принимает максимальное значение по модулю через p .

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.

Разрешив (5) относительно x max получим.

Так как фазовая скорость , то называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид.

(6)

Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.

Следует отметить, что при точном учёте всех членов разложения (для произвольного числа волн), выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается.
Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.

Следовательно, выражение для групповой скорости можно записать следующим образом.

(7)

– неявное выражение, так как и v , и k зависят от длины волны l .

Тогда (8)

Подставим в (7) и получим.

(9)

Это так называемая формула Рэлея. Дж. У. Рэлей (1842 – 1919) английский физик, нобелевский лауреат 1904 года, за открытие аргона.

Из этой формулы следует, что в зависимости от знака производной групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.

В отсутствии дисперсии

Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случай наблюдается в области аномальной дисперсии. Это мы будем рассматривать в разделе "Волновая оптика".

Колебания струны

В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причём в местах закрепления струны располагаются узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.

Отсюда вытекает следующее условие.

Или

(n = 1, 2, 3, …),

l – длина струны. Длины волн соответствуют следующим частотам.

(n = 1, 2, 3, …).

Фазовая скорость волны определяется силой натяжения струны и массой единицы длины, т.е. линейной плотностью струны.

F – сила натяжения струны, ρ" – линейная плотность материала струны. Частоты ν n называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте основного тона.

Эта частота называется основной частотой .

Гармонические колебания с такими частотами называются собственными или нормальными колебаниями. Их также называют гармониками . В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискретные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.

Энергия упругой волны

Пусть в некоторой точке среды в направлении x распространяется плоская волна.

(1)

Выделим в среде элементарный объём ΔV , чтобы в пределах этого объёма скорость смещения частиц среды и деформация среды были постоянны.

Объём ΔV обладает кинетической энергией.

(2)

(ρ·ΔV – масса этого объёма).

Этот объём обладает также и потенциальной энергией.

Для понимания вспомним.

Относительное смещение , α – коэффициент пропорциональности.

Модуль Юнга E = 1/α . Нормальное напряжение T = F/S . Отсюда.

В нашем случае .

В нашем случае имеем.

(3)

Вспомним также.

Тогда . Подставим в (3).

(4)

Для полной энергии получим.

Поделим на элементарный объём ΔV и получим объёмную плотность энергии волны.

(5)

Получим из (1) и .

(6)

Подставим (6) в (5) и учтём, что . Получим.

Из (7) следует, что объёмная плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной точке пространства W 0 изменяется по закону квадрата синуса. А среднее значение этой величины от периодической функции . Следовательно, средняя величина объёмной плотности энергии определится выражением.

(8)

Выражение (8) очень похоже на выражение для полной энергии колеблющегося тела . Следовательно, среда, в которой распространяется волна, обладает запасом энергии. Эта энергия передаётся от источника колебаний в разные точки среды.

Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии .

Если через данную поверхность за время dt переносится энергия dW , то поток энергии Ф будет равен.

(9)

– измеряется в ваттах.

Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, которая называется плотностью потока энергии . Она численно равна потоку энергии через единичную площадку, размещённую в данной точке пространства перпендикулярно направлению переноса энергии. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

(10)

Эта характеристика энергии, переносимой волной, была введена русским физиком Н.А. Умовым (1846 – 1915) в 1874 году.

Рассмотрим поток энергии волны.

Поток энергии волны

Энергия волны

W 0 – это объёмная плотность энергии.

Тогда получим.

(11)

Так как волна распространяется в определённом направлении, то можно записать.

(12)

Это вектор плотности потока энергии или поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени. Этот вектор называется вектором Умова.

~ sin 2 ωt .

Тогда среднее значение вектора Умова будет равно.

(13)

Интенсивность волны – среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной .

Очевидно.

(14)

Соответственно.

(15)

Звук

Звук – есть колебание упругой среды, воспринимаемые ухом человека.

Учение о звуке называется акустикой .

Физиологическое восприятие звука: громкий, тихий, высокий, низкий, приятный, противный – является отражением его физических характеристик. Гармоническое колебание определённой частоты воспринимается как музыкальный тон.

Частота звука соответствует высоте тона.

Ухо воспринимает диапазон частот от 16 Гц до 20000 Гц. При частотах меньше 16 Гц – инфразвук, а при частотах больше 20 кГц – ультразвук.

Несколько одновременных звуковых колебаний есть созвучие. Приятное - консонанс, неприятное – диссонанс. Большое число одновременно звучащих колебаний с разными частотами – шум.

Как мы уже знаем, под интенсивностью звука понимают среднее по времени значение плотности потока энергии, которую несёт с собой звуковая волна. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости (кривая 1 на рисунке). Порог слышимости несколько различен для разных людей и сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1 кГц до 4 кГц. В этой области порог слышимости составляет в среднем 10 -12 Вт/м 2 . При других частотах порог слышимости лежит выше.

При интенсивностях порядка 1 ÷ 10 Вт/м 2 волна перестаёт восприниматься как звук, вызывая в ухе лишь ощущение боли и давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения (кривая 2 на рисунке). Порог болевого ощущения, так же как и порог слышимости, зависит от частоты.

Таким образом, лежит почти 13 порядков. Поэтому ухо человека не чувствительно к малым изменениям силы звука. Для ощущения изменения громкости интенсивность звуковой волны должна изменяться не менее чем на 10 ÷ 20%. Поэтому в качестве характеристики интенсивности выбирают не саму силу звука, а следующую величину, которая называется уровнем силы звука (или уровнем громкости) и измеряется в белах. В честь американского электротехника А.Г. Белла (1847 – 1922), одного из изобретателей телефона.

I 0 = 10 -12 Вт/м 2 – нулевой уровень (порог слышимости).

Т.е. 1 Б = 10·I 0 .

Пользуются и в 10 раз более мелкой единицей – децибел (дБ).

С помощью этой формулы может быть выражено в децибелах уменьшение интенсивности (затухания) волны на некотором пути. Например, затухание в 20 дБ означает, что интенсивность волны уменьшается в 100 раз.

Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в человеческом ухе звуковое ощущение (от 10 -12 до 10 Вт/м 2), соответствует значениям громкости от 0 до 130 дБ.

Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала. Например, чтобы нагреть стакан с водой от комнатной температуры до кипения звуковой волной с уровнем громкости 70 дБ (в этом случае в секунду водой будет поглощаться примерно 2·10 -7 Вт) потребуется время порядка десяти тысяч лет.

Ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков, подобно пучкам света. Направленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение в гидролокации. Идея была выдвинута французским физиком П. Ланжевеном (1872 – 1946) во время первой мировой войны (в 1916 году). Кстати, метод ультразвуковой локации позволяет летучей мыши хорошо ориентироваться при полёте в темноте.

Волновое уравнение

В области волновых процессов существуют уравнения, называемые волновыми , которые описывают все возможные волны, независимо от их конкретного вида. По смыслу волновое уравнение подобно основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки. Уравнение любой конкретной волны является решением волнового уравнения. Получим его. Для этого продифференцируем дважды по t и по всем координатам уравнение плоской волны .

(1)

Отсюда получим.

(*)

Сложим уравнения (2).

Заменим x в (3) из уравнения (*). Получим.

Учтём, что и получим.

, или . (4)

Это и есть волновое уравнение. В этом уравнении – фазовая скорость, – оператор набла или оператор Лапласа.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (4), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной смещения от времени, даёт фазовую скорость волны.

Легко убедиться, что волновому уравнению удовлетворяют уравнения плоской и сферической волн, а также любое уравнение вида

Для плоской волны, распространяющейся в направлении , волновое уравнение имеет вид:

.

Это одномерное волновое уравнение второго порядка в частных производных, справедливое для однородных изотропных сред с пренебрежимо малым затуханием.

Электромагнитные волны

Рассматривая уравнения Максвелла, мы записали важный вывод о том, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. В свою очередь переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле и т.д. Электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. Изменение состояния этого поля имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами . Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.

Рассмотрим однородную нейтральную () непроводящую () среду, например, для простоты, вакуум. Для этой среды можно записать:

, .

Если рассматривается любая иная однородная нейтральная непроводящая среда, то в записанные выше уравнения нужно добавить и .

Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в общем виде.

, , , .

Для рассматриваемой среды эти уравнения имеют вид:

, , ,

Запишем эти уравнения следующим образом:

, , , .

Любые волновые процессы должны описываться волновым уравнением, которое связывает вторые производные по времени и координатам. Из записанных выше уравнений путем несложных преобразований можно получить следующую пару уравнений:

,

Эти соотношения представляют собой идентичные волновые уравнения для полей и .

Вспомним, что в волновом уравнении () множитель перед второй производной в правой части – это величина, обратная квадрату фазовой скорости волны. Следовательно, . Оказалось, что в вакууме эта скорость для электромагнитной волны равна скорости света.

Тогда волновые уравнения для полей и можно записать как

и .

Эти уравнения указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых в вакууме равна скорости света.

Математический анализ уравнений Максвелла позволяет сделать вывод о структуре электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. В частности, можно сделать вывод о векторной структуре волны. Электромагнитная волна является строго поперечной волной в том смысле, что характеризующие ее векторы и перпендикулярны к вектору скорости волны , т.е. к направлению ее распространения. Векторы , и , в том порядке, в котором они записаны, образуют правовинтовую ортогональную тройку векторов . В природе существуют только правовинтовые электромагнитные волны, и не существует левовинтовых волн. В этом состоит одно из проявлений законов взаимного создания переменных магнитных и электрических полей.

ОК-9 Распространение колебаний в упругой среде

Волновое движение - механические волны, т. е. волны, которые распространяются только в веществе (морские, звуковые, волны в струне, волны землетрясений). Источниками волн являются колебания вибратора.

Вибратор - колеблющееся тело. Создает колебания в упругой среде.

Волной называются колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Волновая поверхность - геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах

Л
уч - линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.

Причина возникновения волн в упругой среде

Если вибратор колеблется в упругой среде, то он воздействует на частицы среды, заставляя их совершать вынужденные колебания. За счет сил взаимодействия между частицами среды колебания передаются от одной частицы к другой.

Т
ипы волн

Поперечные волны

Волны, в которых колебания частиц среды происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Возникают в твердых телах и на поверхности поды.

П
родольные волны

Колебания происходят вдоль распространения волны. Могут возникать в газах, жидкостях и твердых телах.

Поверхностные волны

В
олны, которые распространяются на границе раздела двух сред. Волны на границе между водой и воздухом. Еслиλ меньше глубины водоема, то каждая частица воды на поверхности и вблизи от нее движется по эллипсу, т.е. представляет собой комбинацию колебаний в продольном и поперечном направлениях. У дна же наблюдается чисто продольное движение.

Плоские волны

Волны, у которых волновые поверхности являются плоскостями, перпендикулярными на правлению распространения волн.

Сферические волны

Волны, у которых волновые поверхности являются сферами. Сферы волновых поверхностей концентрические.

Характеристики волнового движения

Длина волны

Наименьшее расстояние между двумя гонками, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны. Зависит только от среды, в которой распространяется волна, при равных частотах вибратора.

Частота

Частота ν волнового движения зависит только от частоты вибратора.

Скорость распространения волны

Скорость v=λν . Так как
, то
. Однако скорость распространения волны зависит от вида вещества и его состояния; отν иλ , не зависит.

В идеальном газе
, гдеR - газовая постоянная;М - молярная масса;Т - абсолютная температура;γ - постоянная для данного газа;ρ - плотность вещества.

В твердых телах поперечные волны
, гдеN - модуль сдвига; продольные волны
, гдеQ - модуль всестороннего сжатия. В твердых стержнях
гдеЕ - модуль Юнга.

В твердых телах распространяются как поперечные, так и продольные волны с разными скоростями. На этом основан способ определения эпицентра землетрясения.

Уравнение плоской волны

Его вид x =x 0 sinωt (t −l /v) =x 0 sin(ωt −kl ), гдеk = 2π /λ - волновое число;l - расстояние, пройденное волной от вибратора до рассматриваемой точкиА .

Запаздывание по времени колебаний точек среды:
.

Запаздывание по фазе колебаний точек среды:
.

Разность фаз двух колеблющихся точек: ∆φ =φ 2 −φ 1 = 2π (l 2 −l 1)/λ .

Энергия волны

Волны переносят энергию от одной колеблющейся частицы к другой. Частицы совершают только колебательные движения, но не движутся вместе с волной: E =E к +E п,

где E к - кинетическая энергия колеблющейся частицы;E п - потенциальная энергия упругой деформации среды.

В некотором объеме V упругой среды, в которой распространяется волна с амплитудойх 0 и циклической частотойω , имеется средняя энергияW , равная
, гдеm - масса выделенного объема среды.

Интенсивность волны

Физическая величина, которая равна энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади поверхности перпендикулярно направлению распространения волны, называется интенсивностью волны:
. Известно, чтоW иj ~.

Мощность волны

Если S - поперечная площадь поверхности, через которую волной переносится энергия, аj - интенсивность волны, то мощность волны равна:p =jS .

ОК-10 Звуковые волны

Упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, называются звуковыми волнами.

16 –2∙10 4 Гц - слышимые звуки;

меньше 16 Гц - инфразвуки;

больше 2∙10 4 Гц - ультразвуки.

О
бязательное условие для возникновения звуковой волны - наличие упругой среды.

М
еханизм возникновения звуковой волны аналогичен возникновению механической волны в упругой среде. Совершая колебания в упругой среде, вибратор воздействует на частицы среды.

Звук создают долговременные периодические источники звука. Например, музыкальный: струна, камертон, свист, пение.

Шум создают долговременные, но не периодические источники звука: дождь, море, толпа.

Скорость звука

Зависит от среды и ее состояния, как и для любой механической волны:

.

При t = 0°Сv воды = 1430 м/с,v стали = 5000 м/с,v воздуха = 331 м/с.

Приемники звуковых волн

1. Искусственные: микрофон преобразует механические звуковые колебания в электрические. Характеризуются чувствительностью σ :
,σ зависит отν з.в. .

2. Естественные: ухо.

Его чувствительность воспринимает звук при ∆p = 10 −6 Па.

Чем меньше частота ν звуковой волны, тем меньше чувствительностьσ уха. Еслиν з.в. уменьшается от 1000 до 100 Гц, тоσ уха уменьшается в 1000 раз.

Исключительная избирательность: дирижер улавливает звуки отдельных инструментов.

Физические характеристики звука

Объективные

1. Звуковое давление - давление, оказываемое звуковой волной на стоящее перед ней препятствие.

2. Спектр звука - разложение сложной звуковой волны на составляющие ее частоты.

3. Интенсивность звуковой волны:
, гдеS - площадь поверхности;W - энергия звуковой волны;t - время;
.

Субъективные

Громкость, как и высота, звука связана с ощущением, возникающим в сознании человека, а также с интенсивностью волны.

Человеческое ухо способно воспринимать звуки интенсивностью от 10 −12 (порог слышимости) до 1(порог болевого ощущения).

Г

ромкость не является прямо пропорциональной величиной интенсивности. Чтобы получить звук в 2 раза большей громкости, надо интенсивность увеличить в 10 раз. Волна, имеющая интенсивность 10 −2 Вт/м 2 , звучит в 4 раза громче, чем волна интенсивностью 10 −4 Вт/м 2 . Из-за этого соотношения между объективным ощущением громкости и интенсивностью звука используют логарифмическую шкалу.

Единицей этой шкалы является бел (Б) или децибел (дБ), (1 дБ = 0,1 Б), названная в честь физика Генриха Бела. Уровень громкости выражается в белах:
, гдеI 0 = 10 −12 порог слышимости (усредненный).

Е
слиI = 10 −2 , то
.

Громкие звуки вредны для нашего организма. Санитарная норма равна 30–40 дБ. Это громкость спокойной тихой беседы.

Шумовая болезнь: высокое артериальное давление крови, нервная возбудимость, тугоухость, быстрая утомляемость, плохой сон.

Интенсивность и громкость звука от различных источников: реактивный самолет - 140 дБ, 100 Вт/м 2 ; рок-музыка в закрытом помещении - 120 дБ, 1 Вт/м 2 ; обычный разговор (50 см от него) - 65 дБ, 3,2∙10 −6 Вт/м 2 .

Высота звука зависит от частоты колебаний: чем >ν , тем выше звук.

Т
ембр звука позволяет различать два звука одинаковой высоты и громкости, издаваемых различными инструментами. Он зависит от спектрального состава.

Ультразвук

Применяется: эхолот для определения глубины моря, приготовление эмульсий (вода, масло), отмывка деталей, дубление кожи, обнаружение дефектов в металлических изделиях, в медицине и др.

Распространяется на значительные расстояния в твердых телах и жидкостях. Переносит энергию значительно большую, чем звуковая волна.

Волнами называются всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Механическими называются волны, возникающие в упругих средах, т.е. в средах, в которых возникают силы, препятствующие:

1) деформации растяжения (сжатия);

2) деформации сдвига.

В первом случае возникает продольная волна , в которой колебания частиц среды происходят в направлении распространения колебаний. Продольные волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных телах, т.к. они связаны с возникновением упругих сил при изменении объема .

Во втором случае в пространстве существует поперечная волна , в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, т.к. связаны с возникновением упругих сил при изменении формы тела.

Если какое–то тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к нему, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы, Эти силы действуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. С течением времени все большее количество частиц среды оказывается вовлеченным в колебательное движение.

Механические волновые явления имеют огромное значение для повседневной жизни. Например, благодаря звуковым волнам, обусловленным упругостью окружающей среды, мы можем слышать. Эти волны в газах или жидкостях представляют собой колебания давления, распространяющиеся в данной среде. В качестве примеров механических волн можно привести также: 1) волны на поверхности воды, где связь смежных участков поверхности воды обусловлена не упругостью, а силой тяжести и силами поверхностного натяжения; 2) взрывные волны от разрывов снарядов; 3) сейсмические волны – колебания в земной коре, распространяющиеся от места землетрясения.

Отличие упругих волн от любого другого упорядоченного движения частиц среды состоит в том, что распространение колебаний не связано с переносом вещества среды из одного места в другое на большие расстояния.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один, он все время перемещается. Форма фронта может быть различной в зависимости от формы и размеров источника колебаний и свойств среды.

В случае однородной и изотропной среды от точечного источника распространяются сферические волны, т.е. фронт волны в этом случае – сфера. Если источник колебаний – плоскость, то вблизи нее любой участок фронта волны мало отличается от части плоскости, поэтому волны с таким фронтом называются плоскими.

Предположим, что за время некоторый участок фронта волны переместился на . Величина

называется скоростью распространения фронта волны или фазовой скоростью волны в данном месте.

Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением волны в этой точке, т.е. с направлением переноса энергии, называется лучом . В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной фронту волны.

Колебания от источника могут быть как гармоническими, так и негармоническими. Соответственно, от источника бегут волны монохроматические и немонохроматические . Немонохроматическая волна (содержащая колебания разных частот) может быть разложена на монохроматические (каждая из которых содержит колебания одной частоты). Монохроматическая (синусоидальная) волна представляет собой абстракцию: такая волна должна быть бесконечно протяженной в пространстве и времени.

Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т.п.). Всем колебаниям независимо от их природы присущи некоторые общие закономерности. Колебания распространяются в среде в виде волн. В данной главе рассматриваются механические колебания и волны.

7.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.

Пусть, например, материальная точка массой т подвешена на пружине (рис. 7.1, а). В этом положении упругая сила F 1 уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 7.1, б), то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение упругой силы, согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смещению х точки:

F = -кх, (7.1)

где к - жесткость пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону положения равновесия: F < 0 при х > 0, F > 0 при х < 0.

Другой пример.

Математический маятник отклонен от положения равновесия на небольшой угол α (рис. 7.2). Тогда траекторию движения маятника можно считать прямой линией, совпадающей с осью ОХ. В этом случае выполняется приближенное равенство

где х - смещение материальной точки относительно положения равновесия; l - длина нити маятника.

На материальную точку (см. рис. 7.2) действуют сила натяжения F H нити и сила тяжести mg. Их равнодействующая равна:

Сравнивая (7.2) и (7.1), видим, что в этом примере равнодействующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смещению материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при мальж деформациях упругих тел, называют квазиупругими.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), совершает гармонические колебания.

7.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинетическую энергию колеблющейся материальной точки можно вычислить по известной формуле, используя выражение (7.10):

7.3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний.

Рассмотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Аналитически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу π (рис. 7.8, а);

т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу π (рис. 7.8, б). В частности, при А 1 = А 2 имеем А = 0, т.е. колебания нет (рис. 7.8, в).

Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, точка неподвижна. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармоническим.

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга: ω 01 и ω 02

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медленно изменяющейся амплитудой (амплитудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 7.9).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое - вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

Уравнения (7.25) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, можно определить координаты х и у, а совокупность координат и есть траектория.

Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 7.10).

Из выражения (7.26) вытекают некоторые частные случаи:

7.4. СЛОЖНОЕ КОЛЕБАНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛОЖНОГО КОЛЕБАНИЯ

Как видно из 7.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.

Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции. Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т.п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами - анализаторами.

Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. 7.14, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые 1, 2 и 3); на рис. 7.14, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.

Рис. 7.14, б

Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс. Он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.

7.5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим.

Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, однако, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

При сильном затухании (β 2 >>ω 2 0) из формулы (7.36) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим 1 . Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 7.16. Этот случай применительно к электрическим явлениям рассматривается более подробно в гл. 18.

Незатухающие (см. 7.1) и затухающие колебания называют соб-ственнъми или свободнъми. Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

7.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила:

1 Заметим, что если некоторая физическая величина принимает мнимые значения, то это означает какую-то необычность, экстраординарность соответствующего явления. В рассмотренном примере экстраординарность заключается в том, что процесс перестает быть периодическим.

Из (7.43) видно, что при отсутствии сопротивления (β=0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из (7.42) следует, что ω рез = ω 0 - резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 7.18.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и, соответственно, несколько резонансных частот.

Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека (см. 8.7 и 8.8).

7.7. АВТОКОЛЕБАНИЯ

Как было показано в 7.6, колебания могут поддерживаться в системе даже при наличии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воздействие (вынужденные колебания). Это внешнее воздействие не зависит от самой колеблющейся системы, в то время как амплитуда и частота вынужденных колебаний зависят от этого внешнего воздействия.

Однако существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы - автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами:

1) собственно колебательная система;

2) источник энергии;

3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему.

Колебательная система каналом обратной связи (рис. 7.19) воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря - источником энергии, а анкер - регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы - генераторы электромагнитных колебаний (см. гл. 23).

7.8. УРАВНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЛН

Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.

Различают два основных вида механических волн: упругие волны - распространение упругих деформаций - и волны на поверхности жидкости.

Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

Уравнение волны выражает зависимость смещения s колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени.

Для волны, распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:

Если s и х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси Х (рис. 7.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением

Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (7.45) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механической, тепловой, электрической, магнитной и т.д., - отвечает уравнению (7.49), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью υ.

7.9. ПОТОК ЭНЕРГИИ ВОЛН. ВЕКТОР УМОВА

Волновой процесс связан с переносом энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии.

Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого эта энергия перенесена:

Единицей потока энергии волн является ватт (Вт). Найдем связь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.

Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.21), площадь поперечного сечения которого S, а длина ребра численно равна скорости υ и совпадает с направлением распространения волны. В соответствии с этим за 1 с сквозь площадку S пройдет та энергия, которой обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда Sυ. Это и есть поток энергии волн:

7.10. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

Один из распространенных примеров механической волны - звуковая волна (см. гл. 8). В этом случае максимальная скорость колебаний отдельной молекулы воздуха составляет несколько сантиметров в секунду даже для достаточно большой интенсивности, т.е. она значительно меньше скорости волны (скорость звука в воздухе около 300 м/с). Это соответствует, как принято говорить, малым возмущениям среды.

Однако при больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т.п.) скорость колеблющихся частиц среды может уже стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударная волна.

При взрыве высоконагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают слои окружающего воздуха. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Поверхность, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного, в физике называют ударной волной. Схематично скачок плотности газа при распространении в нем ударной волны показан на рис. 7.22, а. Для сравнения на этом же рисунке показано изменение плотности среды при прохождении звуковой волны (рис. 7.22, б).

Рис. 7.22

Ударная волна может обладать значительной энергией, так при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.

7.11. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА

Эффектом Допплера называют изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.